小结优秀公开课教案

不等式复习（第3课时）教学设计

教学目标学科网ZXXK]

一、知识与技能

1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题2.让学生探究用基本不等式解决实际问题

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱

二、过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学[来源:学科网]

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣

三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣

ab

的推导与证明过程，以及应2学情分析：上面学生学习基本不等式：ab用的条件：一正、二定、三等.复习对基本不等式展开的一些简单应用，通过数与形的结合，让学生进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，让学生对基本不等式abab的结构特征达到充分认识，并能够2

灵活把握，为本节课基本不等式的实际应用，打下坚实的基础.在本节课的教学过程中，仍强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值.本节课设置的具体例题会涉及与函数、方程等许多数学本身的知识与方法的处理，重点是解决实际问题.对具体例题的分析和求解过程中，设置思考项，让学生探究，层层铺设，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在本节课的研究过程中，要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，进而构建他们更完善的知识网络，培养与锻炼他们的数学建模能力依据学生平时的学习兴趣、习惯、方法、能力等，通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱是本节课的重点之一，构建基本不等式解决函数的值域、最值问题. 教学重点

1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题2.让学生探究用基本不等式解决实际问题

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱教学难点

1.学生探究用基本不等式解决实际问题2.基本不等式应用时等号成立条件的考察

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱教具准备

实物投影仪、胶片、三角板、刻度尺教学过程

导入新课

（提问）基本不等式的公式和使用时的注意点是什么？答：基本不等式的公式：若a＞0，b＞0

abab

2应用时要注意条件：一正、二定、三相等新课

【例1】当0＜x＜2时，求函数y=x（2-x）的最大值解：由于x，2-x都是正数，所以y=x(2-x)≤(x2x2)=1 2

当且仅当x=2-x，即x=1时，取等号.此时，y的最大值为

1【变式1】

已知0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值

31113x13x21解：∵0＜x＜，∴1-3x＞0.∴y=x（1-3x）=·3x（1-3x）≤（）=.33321211当且仅当

3x=1-3x,即x时,ymax

612【例2】

已知正数x、y满足xy=x+y+3，试求xy、x+y的范围解：由x＞0,y＞0,xy=x+yx＞1,则

x-1)y=x+3知x≠1,则y

x3x3,由y＞0＞0

x1x1x3x23x(x1)25(x1)444xyx(x1)52(x1)59x1x1x1x1x1,当且仅当x-1=［9,+∞).

4

(x＞0),即x=3,并求得y=3时取“=”，故xy的取值范围是x1xyx

x3x14444xx1(x1)22(x1)26x1x1x1x1x1当且仅当x-1=［

4

(x＞0),即x=3,并求得y=3时取“=”，故xy的取值范围是x111【变式2】已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值xy

解：∵2x+y=1，∴11112xy2xy3322当且仅当xyyxxy

2xy，即y2x时，取yx1x,y2x22而解得,即此时ymin=3+2222xy1y,22

【例3】为了保护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为200 m 2的长方体二级净水处理池(如图),池深度一定,池的外壁建造单价为每平方米400元,中间一条隔墙建造单价为每平方米100元,池底建造单价为每平方米60元.一般情形下,

净水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最底

解: 设净水池长为xm,则宽为200m,高为xh m,则总造价200200f(x)=400(2x+2·)·h+100·

xx225=800h(x+)+12 000(x＞

x225当且仅当x

(x＞0),即x=15时上述不等式取到等号.故当净水池的长设计为x15 m时总造价最低

【变式3】

用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)，设容器高为h米，盖子边长为a米，

(1)求a关于h的解析式；

(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)．命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值

解：（１）设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得12a4ha212消去h′,解得a

(a＞021h1a2a2h241h(2)由V＝a2h(h＞33(h21)

得V113(h)h,而h11112h2.所以V≤,当且仅当h,即h=1时取等号，6hhh1立方米。6故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为

课堂小结

ab2k2：1.当a,b∈R,a+b=k(定值)时，ab≤()=

(定值).①24+

当且仅当a=b时,取“=”.不等式①可以在求函数的最大值时使用2.当a,b∈R+,ab=m(定值)时，a+b≥2ab=2m(定值).②

当且仅当a=b时，取“=”.不等式②可以在求函数的最小值时使用

3.以基本不等式为基础，由具体问题，构建基本不等式来解决有关函数的值域、最值问题.探究用基本不等式解决实际问题.掌握了解决实际应用题的一般程序，即审题、建模、研究模，再回到实际问题验证作答布置作业

复习参考题

103，A

组6、7、8