3.1.2 复数的几何意义教学设计第一课时

3．1.2 复数的几何意义

基础梳理

1．复平面．

(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．

(2)实轴：x轴叫做实轴．

(3)虚轴：y轴(除去原点)叫做虚轴．

2．复平面内的点与复数的对应关系．

(1)实轴↔实数．

(2)虚轴(除原点)↔纯虚数．

(3)各象限的点↔非纯虚数．

3．复数的两种几何形式(点Z的横坐标是a，纵坐标是b)．

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔点Z(a，b)．

→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量OZ．

4．复数的模．

→22向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|＝a＋b．若b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模等于|a|．

基础自测

1．复数2－3i对应的点在直线(C) A．y＝x上

B．y＝－x上

C．3x＋2y＝0上

D．2x＋3y＝0上

解析：2－3i对应的点(2，－3)，满足方程3x＋2y＝0.故选C. →→2．若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数(C) A．等于0 B．－3 C．在虚轴上

D．既不在实轴上，也不在虚轴上

→解析：OZ对应的复数为－3i，在虚轴上．故选C.

3．在复平面内，复数1－i对应的点与原点的距离是2．

解析：1－i对应的点为Z(1，－1)，|OZ|＝2. 教材解析

（一）复平面

(1)根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．

(2)基本概念．

①复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面．

②实轴：坐标系中的x轴叫实轴．在它上面的点都表示实数．

③虚轴：坐标系中的y轴叫虚轴．除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数．

注：(1)习惯上，用大写字母Z表示点，小写字母z表示复数．

(2)复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内点Z的坐标是(a，b)，而非(a，bi)．例如，复平面内的点(－2，3)表示复数－2＋3i；反之，复数－2＋3i对应复平面内的点的坐标是(－2，3)．

（二）复数的几何意义

(1)复数与点对应．

每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即

一一对应复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．

(2)复数与向量的应用．

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对→与复数是一一对应的．设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，向量OZ是由点Z唯→一确定的；反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即

一一对应→复数z＝a＋bi平面向量OZ. 注：(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系．

(2)常把复数z＝a＋bi说成点Z(a，b)或说成→向量OZ. (3)规定：相等向量表示同一复数．

（三）复数的模

→(1)定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或者|a＋bi|. →22(2)求法：|z|＝|OZ|＝a＋b. (3)模的几何意义：模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0，0)的距离．

注：(1)实数0与零向量对应，故复数0的模为0. (2)

模相等的两个复数未必相等．例如，|i|＝1＝|－i|，但显然i≠－i. 方法总结

→1．复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)及向量OZ的一一对应关系如下图所示．

2．由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时，通常是由对应关系列出方程(组)或不等式(组)，求得复数的实部、虚部的取值(范围)来确定所求的复数．

3．复数z＝a＋bi的模|z|＝a＋b，从几何意义上理解，表示点Z(a，b)和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1和z2对应的点Z1和Z2之间的距离．

4．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用复数模的计算公式进行计算．由于复数的模是一个实数，所以复数的模可以比较大小．

22随堂巩固

3－4i1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为(D) 5A第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．复数z＝2－i对应的点在复平面的(B) A．第一象限内 B．实轴上

C．虚轴上 D．第四象限上

3．(2013·重庆卷)已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝5．

2a－a－2i(a∈R)对应的点Z：

4．a取何值时，z＝(a－2a－8)＋a＋122

(1)在复平面的x轴的下方？

(2)在直线x＋y＋8＝0上？

a2－a－2解析：(1)点Z在复平面的x轴的下方，则＜0⇒a＜2，且a≠1.

a＋1∴a＜2，且a≠－1时，点Z在复平面的x轴的下方．

(2)点Z在直线x＋y＋8＝0上，则

a2－a－232a－2a－8＋＋8＝0⇒a－3a－2＝0⇒a－a－2＝0(a≠－1)⇒a＝2. a＋12∴a＝2时，点Z在直线x＋y＋8＝0上．