2.2.1 综合法和分析法PPT专用课堂实录内容

2.2.1

综合法和分析法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？

2. 讨论：如何证明基本不等式abab(a0,b0). 2

（讨论

→

板演

→

分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

通过前面的学习我们知道，合情推理得出的结论我们需要加以证明，这正是数学区别于其他学科的显著特点.数学结论的正确性必须通过演绎推理(逻辑推理)的方式加以证明，本节我们来看一种基础的证明方法1.直接证明：直接证明包括两种最基本证明方法——

综合法与分析法

综合法(synthetical methed)：所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法

. 综合法的可概括为下面形式：

2.教学例题：

例1已知a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

.

证明：∵b2+c2≥2bc,a>0

∴a(b2+c2)≥2abc

∵c2+a2≥2ac,b>0

∴b(a2+c2)≥2abc

∴

a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

讨论：能用综合法证明吗？

→

如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

1

练习: 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE

分析：

已知

练习: 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE分析：已知AD平分∠BAC已知1∠1=∠2BFDCDE∥CA∠2=∠3AE123已知2结论372537722综合法是由因导果,355∠1=∠33725立足于寻找已知条3725件合适的必要条件,3725DE=AE适宜于表述通过教材P85例1发现：

在解决实际问题时，经常要先作语言的变换

然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表示出来

分析法(analytical methed)：是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．

例3

求证:

根号3+根号5小于2倍根号5 分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件

2

证明：因为37和25都是正数，所以要证3725，只需证(37)2(25)2,展开得1022120,只需证215,只需证2125.因为2125，所以3725成立.

练习: 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE.BFDC分析：要证DE=AE∠1=∠3AE312只需证只需证只需证∠1=∠2∠2=∠3AD平分∠BACDE∥CA

说明

1.

由于分析法是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述

2.

实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它

3

例4.已知 ,k(kz),且

2

sincos2sin,

sincossin2

1tan21tan2

求证：＝

1tan22(1tan2)

分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切

1.综合法：∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1∴(2sinα)2-2sin2β＝1∴4sin2α-2sin2β＝1∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β即：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2α＝cos2β-sin2βcos2β+sin2β1tan21tan2＝21tan2(1tan2)

4

2.分析法：1tan21tan2＝要证：21tan2(1tan2)只要证：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2α＝cos2β-sin2βcos2β+sin2β只要证：2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β只要证：4sin2α-2sin2β＝1只要证：(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1这是三角函数的基本性质∴1tan21tan2＝21tan2(1tan2)

综合法分析法由果索因不要条件Q←P1←P2←...←Pn←P解法的探讨特点条件格式关系由因索果充分条件P→Q1→Q2→...→Qn→Q解答个一般方式实际证题过程，分析与综合是统一运用的P→Q1→Q2→...→Qn→Q←Pn←... ←P2←P1←P

2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. ll，截面积为()2，周长为l22llll的正方形边长为，截面积为()2，问题只需证：()2> ()2. 4424

提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐5

下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.

（框图示意）

三、巩固练习：

1.

设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab43S. 略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4ab23absinC，

即证：2cosC23sinC，即：3sinCcosC2，即证：sin(C2. 作业：教材P52

练习

2、3题.

6)1（成立）. 6