等比数列求和公式及等差公式汇总

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教 学 目 的

通过学习数列的前n项和来解决一些关于不等式的问题。

重 难 点

求前n项和方法的灵活运用。

教  学  内  容

课前回顾：

上节课讲了求通项公式的几种方法，对于其中的几种一定要熟记。

数列分为等差数列和等比数列，但是无论等差数列还是等比数列，第一步都是要求通项公式，然后第二步求前n项和，下面我们就介绍几种求前n项和的方法。在说方法之前，一定要了解其实求前n项和是为了和不等式连接起来，也就是前面所说的函数的问题，下面就正式介绍求前n项和的几种方法。

【基础知识网络总结与巩固】

一、公式法

等差数列前n项和：

特别的，当前n项的个数为奇数时，，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=1时，

，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、 2、

3、

二、错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）       （2）

（3）   （4）

（5）

(6)

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S_n.

【重难点例题启发与方法总结】

[例2] 设S_n＝1+2+3+…+n，n∈N^*,求的最大值.

     解：由等差数列求和公式得 ，     （利用常用公式）

         ∴ ＝

                 ＝＝

       ∴ 当 ，即n＝8时，

（错位相加法）[例3] 求和：………………………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积

设………………………. ②    （设制错位）

①－②得     （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

                 ∴    

[例4] 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

………………………………②            （设制错位）

①－②得                  （错位相减）

        ∴   

[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设

    ∴  ＝

将其每一项拆开再重新组合得  

S_n＝                                        （分组）

＝        

           ＝                         （分组求和）

           ＝

（裂项法求和）[例9]  求数列的前n项和.

解：设                                        （裂项）

则                            （裂项求和）

          ＝

          ＝

[例10]  在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

解： 　 ∵

    　         ∴                                       （裂项）

∴  数列{b_n}的前n项和

                   （裂项求和）

                ＝ ＝

 总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。（求和公式和求通项公式相比的话，套公式性不是太强烈，所以做这些求和的题的时候第一要先观察，思考后再下手）

【重难点关联练习巩固与方法总结】

1. （14分）在数列中，，

，．（1）证明数列是等比数列；

（2）求数列的前项和；（3）证明不等式，对任意皆成立．

3. （14分）数列的前项和为，，．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）求数列的前

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