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第二十六章

反比例函数

一、填空题(每题3分，共18分) k1．已知点P(1，－4)在反比例函数y＝的图象上，则k的值是________．

x2a－12．若反比例函数y＝的图象有一支位于第一象限，则a的取值范围是________．

xk3．若点P1(－1，m)，P2(－2，n)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则m________n(填x“＞”“＜”或“＝”)．

34．直线y＝ax＋b(a>0)与双曲线y＝相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y1＋x2y2的x值为________．

25．如图26－Z－1，点A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上任意一点，AB⊥y轴于点B，x点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为________．

图26－Z－1 46．函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x＞0)的图象如图26－Z－2 所示，则下列结论：

x①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；

②当x＞2时，y2＞y1；

③当x＝1时，BC＝3;

④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.

其中正确结论的序号是________．

图26－Z－2 二、选择题(每题4分，共32分) m＋17．若点A(－1，1)是反比例函数y＝的图象上一点，则m的值为(

) xA．－1

B．－2

C．0

D．1 3－2m8．已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满足上述条件的正x整数m有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

9．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数关系是(

) 320A．v＝320t

B．v＝

t20C．v＝20t

D．v＝

tn10．函数y＝mx＋n与y＝，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一直角坐标系中的图象mx可能是(

)

图26－Z－3 11．如图26－Z－4，正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点E(－1，2)，若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

图26－Z－4

图26－Z－5

k12．已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标x为(

) A．(－3，4)

B．(－4，－3) C．(－3，－4)

D．(4，3) k13．如图26－Z－6，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y＝(k＞0)在第一象限x的图象经过A，C两点．若△OAB的面积为6，则k的值为(

)

图26－Z－6 A．2

B．4

C．8

D．16 k114．如图26－Z－7，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数xk210y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝，则k2－k1＝x3(

)

图26－Z－7 1416A．4

B.

C.

D．6 33三、解答题(共50分) 15．(12分)已知反比例函数的图象经过点P(2，－3)．

(1)求该函数的解析式；

(2)若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n(n＞0)个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．

k16．(12分)如图26－Z－8，Rt△ABO的顶点A是反比例函数y＝的图象与一次函数yx3＝－x－(k＋1)的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝. 2(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标以及△AOC的面积；

(3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．

图26－Z－8

a17．(12分)如图26－Z－9，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一x象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB. a(1)求函数y＝kx＋b和y＝的解析式；

x(2)已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．

图26－Z－9

m18．(14分)如图26－Z－10，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图x

1象交于A(2，－1)，B(，n)两点，直线y＝2与y轴交于点C. 2(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)求△ABC的面积．

图26－Z－10

教师详解详析

1．－4 112．a>

[解析] ∵反比例函数的图象有一支在第一象限，∴2a－1>0，∴a>.故答案为221a>. 23．＞

[解析] ∵k＜0，

∴在第二象限内，y随x的增大而增大．

∵点P1(－1，m)，P2(－2，n)在第二象限，且－1＞－2，

∴m＞n. 故答案为＞. 4．6 25．1

[解析] 设点A的坐标是(m，n)，则n＝，即mn＝2. m∵△ABC中，AB＝m，AB边上的高是n，

11∴S△ABC＝mn＝×2＝1. 22故答案是1. y＝x，46．①③④

[解析] 将y1＝x(x≥0)，y2＝(x＞0)组成方程组，得4

xy＝x，x＝2，由于x>0，解得

y＝2，故点A的坐标为(2，2)．

故①正确．

由图可知，当x＞2时，y1＞y2，

故②错误．

当x＝1时，y1＝1，y2＝4，则BC＝4－1＝3，

故③正确．

当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．

故④正确．

可见，正确的结论为①③④. 故答案为①③④. m＋17．B

[解析] 将(－1，1)代入y＝，得m＋1＝－1，解得m＝－2，故选B. x38．B

[解析] 由题意可得3－2m＞0，解得m＜，∴满足条件的正整数m只有1.故选2B. 9．B

10.B 11．A

[解析] 根据函数值在函数图象上的意义可知，当正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方时，y1＞y2，故由交点E(－1，2)可知，若y1＞y2＞0，则x的取值范围为x＜－1.故选A. 12．C 13．B

[解析] 如图，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为E，1则S△AOD＝k. 2

a＋bkk设A(a，)，B(b，0)，则C(，)，

a22a∴B. k1k1k2k214．A

[解析] 设A(m，)，B(n，)，则C(m，)，D(n，)，

mnmna＋bk111·＝k，∴b＝3a，∴OD＝OB，∴S△AOD＝S△OAB＝2，∴k＝2，∴k＝4.故选22a332

k－k由题意，得m＝2，解得k－k＝4.

k－kn＝3，12212110n－m＝，3k15．解：(1)设反比例函数的解析式为y＝，

x∵图象经过点P(2，－3)，

∴k＝2×(－3)＝－6，

6∴反比例函数的解析式为y＝－. x(2)∵点P沿x轴负方向平移3个单位，

∴点P′的横坐标为2－3＝－1. 6∵当x＝－1时，y＝－＝6，

－1∴n＝6－(－3)＝9，

∴点P沿y轴平移的方向为正方向．

316．解：(1)∵AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝，

213∴|k|＝，∴k＝±3. 22∵反比例函数图象在第二、四象限，∴k<0，

∴k＝－3. 3∴反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－x＋2. x(2)设一次函数y＝－x＋2的图象与x轴的交点为D. 令y＝0，得x＝2. ∴点D的坐标为(2，0)．

y＝－x＋2，x＝－1，x＝3，由解得或

3y＝－1，y＝3y＝－，x∴A(－1，3)，C(3，－1)，

11∴S△AOC＝S△AOD＋S△ODC＝×2×3＋×2×1＝4. 22(3)∵A(－1，3)，C(3，－1)，

∴当x<－1或0

a17．解：(1)把点A(4，3)代入函数y＝，得a＝3×4＝12，

x∴反比例函数的解析式为y＝12. x由题意得OA＝32＋42＝5，

∵OA＝OB，

∴OB＝5，

∴点B的坐标为(0，－5)．

b＝－5，把B(0，－5)，A(4，3)代入y＝kx＋b，得

4k＋b＝3，k＝2，解得

b＝－5.∴一次函数的解析式为y＝2x－5. (2)∵点M在一次函数y＝2x－5的图象上，

∴设点M的坐标为(x，2x－5)．

∵MB＝MC，

∴x2＋（2x－5＋5）2＝x2＋（2x－5－5）2，

解得x＝2.5，

∴点M的坐标为(2.5，0)．

m18．解：(1)∵点A(2，－1)在反比例函数y＝的图象上，

xm∴－1＝，即m＝－2，

22∴反比例函数的解析式为y＝－. x12∵点B(，n)在反比例函数y＝－的图象上，

2x21∴n＝－＝－4，即点B的坐标为(，－4)．

1221将A(2，－1)和B(，－4)分别代入y＝kx＋b，得

22k＋b＝－1，k＝2，解得

1b＝－5，k＋b＝－4，2∴一次函数的解析式为y＝2x－5. (2)设直线AB交y轴于点D. 令y＝2x－5中x＝0，得y＝－5，即点D的坐标是(0，－5)，

∴OD＝5. ∵直线y＝2与y轴交于点C，

∴点C的坐标是(0，2)，∴OC＝2，

∴CD＝OC＋OD＝7，

111721∴S△ABC＝S△ACD－S△BCD＝×7×2－×7×＝7－＝. 22244