二 一般形式的柯西不等式教案及板书设计

选修4-5导学案

班级________姓名________编号_________编制：高井林

时间________ 学习目标

1、掌握三维形式和一般形式的柯西不等式。

2、通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题。

重点：一般形式的柯西不等式的证明，柯西不等式应用。

难点：柯西不等式应用。

学习过程

一、

复习导入：（阅读课本P31-39）

问题1.思考回答

定理1：（二维形式的柯西不等式）___________________________________________

定理2：（柯西不等式的向量形式）___________________________________________ 定理3：（二维形式的三角形不等式）_________________________________________ 二、探索新知：

问题2、平面上向量坐标(x,y)是二维形式，空间向量坐标(x,y,z)是三维形式，从三维角度考虑问题，柯西不等式会有什么结论呢？

新知1、三维形式的柯西不等式

222222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)≥ .当且仅当 _____________________________________________________时，等号成立．

问题3、对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

问题4、如何证明你的猜想?

新知2、一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a1＋a2＋a3＋…＋an)·(b1＋b2＋b3＋…＋bn)≥ ，当且仅当 时，等号成立．

三、题型探究

探究一

利用柯西不等式证明不等式

22222222abcbca例1.已知a,b,c>0,求证：＋＋＋＋≥9. bcaabc

1

选修4-5导学案

班级________姓名________编号_________编制：高井林

时间________ 例2.已知a1,a2,a3,1,an,都是实数，求证：(a1a2nan)2≤a12a22an2

例3.已知a,b,c,d为不全等的正数，证明：a2+b2+c2+d2＞ab+bc+cd+da

例4.若a＞b＞c,证明：

反思归纳：应用柯西不等式证明不等式的关键是首先根据待证不等式的结构特点,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式进行证明.构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法,(1)巧拆常数;(2)重新安排各项的次序;(3)改变式子的结构;(4)添项等. 114

abbcac探究二.利用柯西不等式求最值

例5.已知x2y3z1，求xyz的最小值

222

2

选修4-5导学案

班级________姓名________编号_________编制：高井林

时间________ x2y2z22,求x+y+z的最大值

例6.已知x,y,z∈R,且32

四．小结反思

五．随堂训练 1.已知a,b,c,d∈R+,且a+b+c+d=1,求证：a+b+c+d≥

49162.设a，b，c均为正数且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值是______ 22221

4abc

3.若实数x+y+z=1,则求2x2y23z2的最小值是__________________ 来源:Z#xx#k.Com] 4.设a,b,c∈R，且abc1，则abc的最大值是__________

5.设x,y,z∈R，2x+2y+z+8=0,则(x1)2(y2)2(z3)2

的最小值是_____

六、作业布置：P41习题3.2 2，3，4，5

3