小结PPT配套教学设计内容

基本不等式（第一课时）

授课教师：李欣鹏

教材：人教版高中数学必修5第三章

一、教学目标

1．通过探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解重要不等式，换元法推导基本不等式，代数角度证明基本不等式，基本不等式的应用；

难点：基本不等式的集合解释．基本不等式的应用

三、教学过程：

1.1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，颜色的敏感使其像个风车，代表着我国人民的热情好客。将会标抽象成平面几何图形，探索会标中蕴含的数学知识。

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b

思考1.正方形的面积与四个直角三角形的面积之和的大小关系。

思考2.如何用a,b表示上述面积关系

a2b22ab

思考3.上述不等式可否取到等号，取到等号时a,b有怎样的关系

几何画板展示取到等号的条件

22ab2ab，当且仅当a=b时取到等号

得出重要不等式：1.2 代数证明，得出结论

请同学们用已学的代数方法证明重要不等式．（提问学生，教师板书）

证法（作差法）：

a2b22ab(ab)20

a2b22ab，当ab时取等号．

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

1.3 换元法推导基本不等式

分析重要不等式是齐二次式，思考如何转换成一次不等式

换元：令ax，by。则a2x,b2y将重要不等式翻译成关于x,y的不等式

abab当且仅当ab时，等号成立

2

得到基本不等式：请同学到讲台前模仿重要不等式的证明过程证明基本不等式

1.4两个不等式的对比

请同学们小组讨论两个不等式的区别与联系，小组间分享结论，教师总结

1.5 得出结论，展示课题内容

两个不等式: （1）基本不等式：若a,bR，则ab,ab（当且仅当ab时，等号成立）

2（2）重要不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

本节课的重点内容为基本不等式，下面我们从两个方面研究基本不等式

2.1 多角度分析基本不等式的意义

2.1.1几何意义

探究二：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．请同学分组讨论基本不等式在这个几何图形中的意义

D B E A O C

教师提示：在图中分别找出长度与ab,ab对应的线段

2根据射影定理可得：CDACBCab

由于RtCOD中直角边CD斜边OD，

于是有abab

2当且仅当点C与圆心O重合时，即ab时等号成立．

几何意义：半径长大于等于半弦长

2.1.2代数意义

给出基本概念：称ab为两个正数a,b的几何平均数；请同学说基本不等式的代数意义

代数意义：两个正数的算数平均数大于等于几何平均数

2.1.3数列意义

请同学们回想是否在哪个阶段接触过ab为a,b的算术平均数

2ab,ab，如果是，怎样将基本不等式用相应的语2言重新描述（若学生无思路，教师可提示：数列）

数列意义：两个正数的等差中项大于等于两个正数的等比中项。

2.3基本不等式的应用

教师分析基本不等式的结构：不等号连接两个正数的积与和，因此基本不等式可以解决与两个正数的积与和相关的问题

2.3．1已知两个正数的积为定值，求和的最值

例1.

用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

教师引导学生分析如何利用基本不等式，学生动手做，2分钟后教师提问，规范书写过程

方法一（设两个变量）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，篱笆的长为zm ,则xy=100，Z=2(x+y) 由xyxy，

2得：x+y≥20，

∴ z≥40 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10 答：矩形的长和宽均为10m时，所用篱笆最短最短篱笆为40m。

方法二（设一个变量）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，篱笆的长为zm ,则xy=100。

z2(xy)2(x等号当且仅当 x100100)4x40xx

100

即x=10时取等号，此时y=10 x答：矩形的长和宽均为10m时，所用篱笆最短最短篱笆为40m。

2.3.2已知两个正数的和为定值，求积的最值

例2.

一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

方法一（设两个变量）设矩形菜园的长为x米，宽为y米，围成的面积为S平方米,则2（x+y）=36，即x+y=18。 S=xy 由xyxy

得xy9 2可得xy≤81，即S≤81 当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立。

答：矩形的长和宽均为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81平方米

方法二（设一个变量）设矩形菜园的长为x米，宽为y米，围成的面积为S平方米 ,则（2x+y）=36，即x+y=18，S=xy S=xy=x(18-x) (0

（通过例1例2的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

结论：已知两个整数之积为定值，则和有最小值；已知两个正数的和为定值，则积有最大值（简记：积定和最小，和定积最大）

探究三：给你一段长为L的篱笆去围面积最大的图形圆、四边形、三角形等，你会怎样去围？现有以下备选图形

圆

矩形

直角三角形 分三个大组讨论围成圆

矩形

直角三角形时的最大面积

2.4归纳小结，反思提高

请同学们总结本节课都学到了哪些知识，教师总结

（1）两个不等式：

重要不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

基本不等式：若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（2）基本不等式的3种意义（数形结合思想）

几何意义：半径长大于等于半弦长

代数意义：两个正数的算数平均数大于等于几何平均数

数列意义：两个正数的等差中项大于等于两个正数的等比中项

（3）基本不等式解决2大类最值问题．

已知两个整数之积为定值，则和有最小值(积定和最小) 已知两个正数的和为定值，则积有最大值(和定积最大) 2.5．布置作业

（1）基本作业：课本P100习题A组1-4题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．