1.3 二项式定理（通用）优质课教案

杨辉三角与二项式系数的性质 【使用说明及学法指导】

1.认真阅读教材P32—P35内容，结合教材，填写好预习案；

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；

【学习目标】

1.通过观察二项式系数表,发现二项式系数的规律; 2.能从函数的角度观察并证明二项式系数的性质；

3.能求二项式展开式最大项是第几项，二项式系数和，已知两项二项式系数相等求n. 【复习】

1.(ab)n展开式有多少项? 2.(ab)n展开式的通项是 3.(ab)n展开式中an-kbk共有多少个?你如何理解? 【课前预习】

一.利用表格探寻二项式系数规律

问题1：（1）计算(ab)n展开式的二项式系数并填入下表. n

(ab)n

1

2

3

4

5

6

(2) 通过计算填表，你发现了什么规律？

(3)将上表变换一下形式，你能发现一些新的规律吗？

1 ab 1 1 ab 1 2 1 2

ab 1 3 3 1 3 ab 1 4 6 4 1 4 ab 1 5 10 10 5 1 5 ab 1 6 15 20 15 6 1 6

(4)你能利用你发现的规律直接写出ab展开式的二项式系数吗？

7

(5)ab展开式的二项式系数具有上面的规律吗？

二.从函数角度探寻二项式系数规律

n

r问题2:(1) 以n6为例，请问二项式系数C6是随着谁的变化而变化的？你能找到两者的对 应关系吗？

n

r(2) 在ab的二项式系数中，你能找到r与Cn之间的对应关系吗？

r (3)在上表中r的取值是什么？我们如何研究Cn与r之间的关系呢？

分别在两个平面直角坐标系内画出n6,7时函数f(r)Crn的图象.

(4)结合图象你有什么发现？

【课上探究】

三.二项式系数性质的证明

Ⅰ.对称性:

问题3：(1)如何说明二项式系数的对称性？

r (2)函数f(r)Cn,r0,1,2,n的对称轴是什么？

练习1：(ab)n的展开式中的第四项和第八项的二项式系数相等，则n= . Ⅱ.增减性与最大值

问题4：如何证明二项式系数的增减性?

练习2：(1)（x-y)8的展开式中二项式系数最大项是第 项. (2)(ab)9的展开式中二项式系数最大的项是第 项.

Ⅲ.二项式系数的和

2，3，4

时二项式系数和,你有什么发现？ 问题5：(1)观察杨辉三角，分别计算n1，

(2)集合A＝{1，2，3，4 }共有多少个子集？

01rn (3)已知(ab)n的展开式，你能用组合意义解释一下CnCnCnCn2n吗？

n01n1n1nn(1CnxCnx问题6：

x)CnCnx 01rn 如何证明各二项式系数的和CnCnCnCn2n

例1．证明：在(ab)n

展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

13练习3：计算C11C1111+C11

【归纳总结】

通过本节课的学习，你有什么收获和体会？

【作业】

1．探究与发现杨辉三角中的更多奥妙. 2.思考：若12x7a0a1xa2x2a7x7，

求（1）a0+a1a2a7 （2）a0a2a4a6