复习参考题主要内容及教案内容

排列组合与二项式定理

1分类计数原理

完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法‥‥‥，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1＋m2＋···＋mn种不同的方法

2 分步计数原理

完成一件事需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

完成一件事有n步，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法‥‥‥，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1×m2×…×mn种不同的方法 3排列

排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数公式

Amn

Amn=n!

规定0！=1 (nm)!4组合

组合定义

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

组合数

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

Cn

mCmn=n! m!(nm)!mnmmmm1性质

Cn=Cn Cn1CnCn

排列组合题型总结

一

直接法

1 .特殊元素法与特殊位置法

例1

用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

二

间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

例2

有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

三

消序法

当需排元素顺序一定、元素重复或者其他不用考虑顺序时，用消序法

例3 n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

1

m解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（消序法）Ann/Am.

例4 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于nn!.

n1!n2!...nk!例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n(12)!3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排1!2!列个数n3!1.

3!四

捆绑法

当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法

．．例5．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有

种

练习．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有

种

Eg

三个女生和五个男生排成一排

（1）

女生必须全排在一起

有多少种排法

（2）

女生必须全分开

（3）

两端不能排女生

（4）

两端不能全排女生

（5）

如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

五、插空法

当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法

．．．．例6

在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

六．隔板法

名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法

例7

某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共

种

。

例8

x1x2x3x412的正整数解的组数

可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块隔板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1x2x3x412，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图

x1

x

2

x

3

x

4

所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等3于插隔板的方法数C11. 注意：若为非负整数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi1，有

2

x1x2x3...xnAa11a21...an1A，进而转化为求a的正整数解的个数为CAn

.

n1八

分组分配问题

均匀分堆：将n个不同元素分成m堆，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀分堆中的分法数）. r244例9(1)10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10C8C4/A221575.若分成六组，22224各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C101C91C8C6C4C2/A22A4

(2)10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C102C83C5若从10人中选出6人分成52520三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C101C92C7312600. 233(3)10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C10C8C55A3.

244C10C8C43A3

(4)

10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为2A2练习

将6本不同的书按以下方式处理，各有几种分法？

(1)平均分成三堆(2)平均分给甲乙丙三人(3)一堆一本，一堆两本，一堆三本

(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本

（相同元素分组问题采用隔板法）

分配问题

先分堆，再分配

九

信箱问题

例：将3封不同的信投放进4个信箱中，共有

43

种不同的投放方法

十

填涂问题

例

某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图1），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种

同一样颜色的话，不同的栽种方法有

种（以数字作答）．（120）

625143BACDE

图1

图2

练习．如图2，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数

练习.在九宫格中填上4种颜色，相邻两格颜色不相同，且1,5,9颜色相同，问有多少种方法？

练习：如图所示，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色不同，把不同的

3

染色方法种数记为an. (1) a4=

. (2) an=

.

十一、最短路径问题

例

某城市街道如右图所示，某人要用最短路程从A地前往B地，则不同的走法有

种

思路

根据题意可知①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向北的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向北的两步走法有多少即可．

解析

不同的走有C35＝10(种)，故选B.

排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；

⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.

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