小结教学评价实录

1．2．1排列教学设计

一、复习引入：

1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有

Nm1m2mn种不同的方法

2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn

种不同的方法

二、讲解新课：

问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，c中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3×2=6 种．

问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；

第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；

第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．

根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个

数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有

4×3×2=24 种不同的排法，

因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．

由此可写出所有的三位数： 123，124, 132, 134, 142, 143，

213，214, 231, 234, 241, 243，

312，314, 321, 324, 341, 342，

412，413, 421, 423, 431, 432 。

同样，问题 2 可以归结为：

从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有4×3×2=24种. 树形图如下

a b ｃ

ｄ

ｂ

ｃ

ｄ

ａ

ｃ

ｄ

ａ

ｂ

ｄ

ａ

ｂ

ｃ

2．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

尝试练习1：．下列问题中哪些是排列问题？

（1）10名学生中抽2名学生开会

（2）10名学生中选2名做正、副组长

（3）以圆上的10个点为端点作弦

（4）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线

（5）有10个车站，共需要多少种车票？

（6）有10个车站，共需要多少种不同的票价？

3．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取m出m元素的排列数，用符号An表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）．．．．．m个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示具体的排列

4．排列数公式及其推导：

33求An可以按依次填3个空位来考虑，∴An=n(n1)(n2)，

mm求An以按依次填m个空位来考虑Ann(n1)(n2)(nm1)，

排列数公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1) （m,nN,mn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列

n全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘）

另外，我们规定

0! =1 . nAnn!. AnmAnm(nm)!mn尝试练习2：

3641.

计算：（1）A16;(2)A6;(3)A8

322.

解方程：A2=100Axx

n33.

求A2n+A4

n1例1．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个

2元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A14=14×13=182. 例2．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在本问题中，0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题

解法 1

：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这九个数字中任选 1 个，1有A9种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从2余下的9个数字中任选2个，有A9种选法（图1.2一

5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有

1A9A92=9×9×8=648（个） . 3解法 2：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，其中 O 在百位上的2排列数是A9，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数， 32-A9=10×9×8-9×8=648. A10巩固练习：课本20页1，5，6

课外作业：1.第27页

习题1.2

A组4，5，6，7

2投影思考1、2 教学反思：