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《基本不等式解最值问题》教学案例

基本不等式作为高中数学教材中重要一章，原《大纲》中，比较关注不等式的解法。而《课标》中强调不等式是刻画和描述现实世界中事物在量上的区别的一种工具，是描述刻画优化问题的一种数学模型，教学要求上，作为C级要求，即理解掌握并应用。淡化解不等式的技巧性要求，突出了不等式的实际背景及其应用。例如，将线性规划问题作为不等式的应用来处理，突出了不等式的几何意义及在解决优化问题中的作用，为学生理解不等式的本质，体会优化思想奠定了基础。从不等式的角度认识函数，从函数与方程、不等式的联系中理解函数，有助于提升学生对函数思想的理解水平。本节课重在通过对基本不等式的复习，加强学生对于应用能力，观察能力，分析问题能力的提高。

教学背景：08年高考小题大题中都对这一知识点作了考察，今年仍将作为重点。

一．教学目标：1．进一步掌握用基本不等式求最值问题.

2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题. 二．教学重点、难点：基本不等式的灵活应用，化实际问题为数学问题.

三．教学过程：

（一）复习：

1．基本不等式：abab（a0,b0）

2(ab)2变形：1.ab2ab，2.ab，3.a2b22ab

42.用基本不等式求最值问题要注意：一正，二定，三相等

（通过投影，突出三要素，贯穿教学整个过程）

（二）课前练习：

1．函数f(x)x4(x1)的最小值为

x141x1x1,x10f(x)(x1)解：f(x)2(x1)4

1413x14当且仅当(x1)，即x1时，取“”x1ab（a0,b0），为了应用此式，把函2评：本题使用的是基本不等式ab数进行配凑，故名“配凑法”.

变式练习：1. f(x)3x出三要素，加深印象）

4(x1)

2.问题：把“x1,”去掉，如何？

（突x12.若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是 解：abab32ab3

令tab，则abt2，t22t3

即(t3)(t1)0，t3或t1，又t0

t3，即ab9

评：本题先用基本不等式，然后注意到不等式形式，利用一次换元，转化为一元二次不等式求解，最后还原，故名“换元法”. 另解：由原式得ba3，

a1a3(a1)25(a1)4abaa1a1

44(a1)52(a1)59a1a1评：本解利用先带入条件，减少未知量，然后通过分离因式的方法，构造利用不等式的条件，然后利用不等式，得解，故名“代入法”和“分离因式法”.

3.已知正数x,y满足xty1,解：把xty1,带入11的最小值为16，则正数t的值是 xy11得

xy11xtyxtytyx1txyxyxytyx12t12ttxy由题知12tt=16，t9

评：本题通过条件带入，变形出基本不等式的形式，然后利用基本不等式求解，此法可以看到“1”的代换作用，故称“‘1’的代换法”. 变式：已知x2y21，求3x4y的取值范围 析：看也是1，但不好代入，如何？联想到三角恒等式

解：设xsin,ycos，3x4y3sin4cos5sin()

1sin()1，故3x4y[5,5]

评：出现平方，想到三角代换，求解，故称“三角代换法”. 总评：问题：这一系列方法的知识生长点在哪？

学生思考讨论：得出：利用不等式的关键在于注意题目中的形式，寻找“和”与“积”，利用不等式时要注意应用条件.

（三）

例题讲解：

例题1若a,b均为正实数，且abamb恒成立，求

m的最小值. 析：考察m的取值范围，故可通过原不等式分离出m，

解：由原不等式得m（下考察abab恒成立

aba最大值）

b)2a2ababab2aba2aba1bbb

(abababa12bm2

评：本题通过分离变量，然后考察范围，通过对根号平方，寻找不等式利用条件，故称为“分离变量法”，“平方法”

另解：通过柯西不等式(acbd)2(a2b2)(c2d2)可解

变题训练：若x,y为正数，

xyaxy恒成立，则a的最小值是

投影学生解题过程，纠正过程中的不规范. 例题2若a,b,c>0且a(abc)bc4-23，求2a+b+c的最小值.

析：由已知条件变形是必须的，在变化过程中观察形式，合理应用. 解：a2abacbca(ac)b(ac)(ac)(ab)

2abc(ac)(ab)2(ac)(ab)

又a2abacbca(ac)b(ac)(ac)(ab)4-23

所以2abc(ac)(ab)2(ac)(ab)24-232(31)

评：本题通过对已知等式的拆分和重新组合，然后注意到所考察问题，两者结合，达到求解问题，故名“拆分组合法”

变题训练：若a,b,c>0，且a22ab2ac4bc12，则abc的最小值是

例题3如图，设矩形的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于B

P，设ABx，求ADP的最大面积及相应的x值.

解：由题可知，DA12x

设DPa

则CAPCABACP

所以PAPCxa

A

B

D

P

C

在RtDPA中有PA2DP2DA2

(xa)2a2(12x)2，所以a12SADP72

x117272ADDP(12x)(12)1086(x)所以22xx

108722当且仅当x72，x62时取等号，

x所以三角形ADP面积最大值为108722，此时x62

设计目的：三角形问题也是高考重点，本题突出基本不等式的应用，同时锻炼了学生的解三角形能力. 另解：可通过假设角来解决

例4某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

l240000720(x1600)

x1600

x2400007202402976001600,即x40时,l有最小值2976000.

当xx2400007202x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案. 四．巩固练习：

y21.（08年江苏）已知x,y,z为正数，x2y3z0，则的最小值是

xz2.若x,y为正数，且x4y1，则xy的最大值是 3.函数yloga(x3)1(a0,a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则12的最小值为 mn4．已知0

x1-x总结：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值

【教学设计评析】

新的教学理念下课堂教学，教师学生都是参与课堂的主体，教学设计是课堂的载体，它将调度师生共同参与教学活动，并在参与中尽量获取知识与能力上的探讨、共鸣与思维能力的升华与内化。教学应该揭示事物发展规律的呈现，注重学生把数学问题取之生活，用之生活。

本例作为高三复习课，通过学生原有知识,寻找学生知识生长点，引导学生在审题中去发现问题,分析解决,得出规律;在此过程中学生得到的是自身发现能力的挖掘,问题解决能力的提高以及综合创新与创造力的潜能训练,这将有利于学生的素质和终身学习能力的培养. 本节课的一个突出点在于从书本某一个知识作为切入点，设计教学过程，创造性地对教材进行再利用，再编改，进行学案教学。使得学生在课堂、课外自主学习，参与课堂的方式更加深入，更容易通过自己探究体验发现的乐趣。