3.1.2 复数的几何意义教学设计及课堂实录

第三章 数系的扩充与复数的引入

【课题】：3.1.2 复数的几何意义

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了. 【教学目标】：

（1）知识与技能：

了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；

（2）过程与方法：

在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；

（3）情感态度与价值观：

培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。

【教学重点】：

复数和复平面内点的关系以及复数的向量表示. 【教学难点】：

复数的向量表示，复数的模的几何意义..

【教学过程设计】：

教学环节

一、问题引入

教学活动

设计意图

【师1】我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上提出问题, 引出课的点来表示，那么类比实数的表示，复数可以用什么图形来表示？实数可题，激发学生学习以用数轴上的点来表示

兴趣.

实数 一一对应 实数轴上的点 数

形

以学生熟悉的知识为载体，采用类比（a,b）”，实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的，的方法，引导学生．．．．对比、思考、愤悱，调动他们的积极性所以zabi,(a,bR)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应．．．．和主动性，活跃课的。

堂气氛，拓展思维[新知1]图示：

宽度，从而使新课更加顺理成章的展开。

[新知1]每一个复数zabi,(a,bR)都可看作“一个有序实数对二、建构新知（一）

【师2】类比实数集的几何模型是数轴，复数集的几何模型是什么？

[新知2]把建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复数平面，简称复平面（高斯平面）。x轴上的点表示实数，y轴上的点（除原点）都表示纯虚数，称x轴为实轴，y轴为虚轴。

y

Z=a+bi

bZ(a,b)

oax

三、学以致用（一）

例1:用复平面内点表示复数(每个小方格的边长是1)：3-2i, 3i, -3, 0. 面向全体学生巩固例2:说出图中复平面内点所表示的复数(每个小方格的边长是1).

概念，体会数形结合思想，较全面地理解复数与复平面内的点的关系。

例3、下列命题中的假命题是（ ）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

例4、“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（

）。

(A)必要不充分 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

22例5、在复平面内，若复数z＝(m－m－2)＋(m－3m＋2)i对应点

通过例题的研究，(1)

在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上. 提高学生分析问题

分别求实数m的取值范围

和解决问题的能

力。

【师3】复平面内的点Z(a,b)与以原点o为起点、Z为终点的向量OZ的对应关系？

[新知3]因为复平面内的点Z(a,b)与以原点师生共同讨论,有助于学生对复数的几何意义的理解

四、建构新知（二）

o为起点、Z为终点的向量OZ一

一对应，所以我们也可以用向量OZ来表示复数zabi，

这是复数的另一种几何意义。

【师4】如果把绝对值的的概念推广到复数中来，那么复数

zabi,(a,bR)的|z|的几何意义是什么？

[新知4]复数可用向量表示，那么|z|=|OZ|=a2b2；

复数zabi,(a,bR)模的几何意义为点Z(a,b)到原点O的距离就

是向量OZ的模.

【师5】复数zabi,(a,bR)、OZ、Z(a,b)三者有怎样的关系？

[新知5]zabi,(a,bR)复数的代数形式，Z(a,b)复数的几何形式

OZ复数的向量形式

用图形表示三者之

间的关系,使学生

加深印象.

五、学以致例6、求复数z1=3+4i及z2=12用(二) 2i的模，并比较它们的模的大小.

探究：1.满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 2.满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？

例：求适合下列条件的复数z在复平面上表示的图形．

(1)2≤|z|<3；

22(2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x＋y<9.

六、小结

1.由实数用数轴上的点来表示,类比联想到复数可用复平面上的点来表示,进而得到复数的向量形式,这是由一维到二维的联想,同时实现了从”数”到”形”的转化. 2．复数的几何意义和复数模的几何意义.

选讲内容

培养学生思维的灵活性和深刻性。

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