二 用数学归纳法证明不等式教学设计案例

用数学归纳法证明不等式

1．利用数学归纳法证明不等式

在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．

2．归纳—猜想—证明的思想方法

数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．

[例1]

证明：2n＋2>n2，n∈N＋. [思路点拨]

验证n＝1，2，3假设n＝k成立，n＝k＋1成―→―→

时，不等式成立推证n＝k＋1立，结论得证[证明]

(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，

左边>右边；

当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边；

当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边．

因此当n＝1,2,3时，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．

当n＝k＋1时，

2k1＋2 ＋＝2·2k＋2 ＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，

k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以2k1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．

＋根据(1)(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．

数学归纳法证明不等式的技巧

(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式

中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．

(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．

11151．用数学归纳法证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．

3n6n＋1n＋211115证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．

34566(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立．即

1115＋＋…＋>.当n＝k＋1时，

3k6k＋1k＋21111115＋＋…＋＋＋＋>＋3k6k＋1＋1k＋1＋23k＋13k＋23k＋11＋1＋1－1>5＋3×1－1＝5. 3k＋13k＋23k＋3k＋163k＋3k＋16∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．

2．用数学归纳法证明：

11111＋2＋2＋…＋2<2－(n≥2，n∈N＋)．

23nn1513证明：(1)当n＝2时，1＋2＝<2－＝，不等式成立．

24221111(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋2＋2＋…＋2<2－，

23kk1111111111当n＝k＋1时，1＋2＋2＋…＋2＋＝2－＋－2<2－＋2<2－＋23kk＋1kk＋1kkk＋1kk11＝2－，不等式成立．

k＋1k＋1由(1)(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋时均成立．

nn－123．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn2的大小，并加以证明．

解：(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn. (2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．

①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn. ②若x＝0，则Pn＝Qn.

③若x∈(－1,0)，

则P3－Q3＝x3<0，所以P3

则Pk＋1＝(1＋x)Pk<(1＋x)Qk＝Qk＋xQk

3kk－1x22kk－1x＝1＋kx＋＋x＋kx＋

22kk＋12kk－13＝1＋(k＋1)x＋x＋x

22kk－13＝Qk＋1＋x

2即当n＝k＋1时，不等式成立．

所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn

设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4. (1)求f(1)，f(3)的值．

(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．

[思路点拨]

利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明．

[解]

(1)由于对任意自然数n1和n2，

总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．

取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4. ∵f(n)>0(n∈N＋)，

∴f(1)＝2. 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23. (2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，

猜想f(n)＝2n. 证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；

②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．

f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k1，

＋这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．

由①②知猜想正确，即f(n)＝2n.

利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．