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不等式恒成立问题

不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型，涉及数学中各部分知识，但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题，最常考的一种题型是：已知不等式恒成立，求参数的取值范围，解决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时，一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决。

在正式求解之前先解决两个问题：

1、怎么判断是恒成立问题？

恒成立问题一般都有很明显的关键词，比如任意、所有、全、都、总、恒、均等。

2、如何区分主元和参数？

恒成立问题一般会出现这样一句话：“对某个未知数在某个区间范围内恒成立”，那么这个未知数就是主元，剩下的未知数就是参数。



函数性质法

1、一次函数型

给定一次函数yf(x)kxb(k0),若yf(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图像（线段）

y

o m

可得上述结论等价于

y n x o m n x f(m)0

f(n)0同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有

例

对于满足0p4的一切实数，不等式xpx4xp3恒成立，试求范围．

分析：习惯上把2f(m)0。

f(n)0x的取值x当作自变量，记函数yx2(p4)x3p，于是问题转化为：

当p0,4时，y0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以2解：设函数f(p)(x1)p(x4x3)，显然x1，则f(p)是p的一次函数，及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．

要使f(p)0恒成立，当且仅当f(0)0，且f(4)0时，解得x的取值范围是(,1)(3,)．

点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．

例

设函数f(x)x3，若0范围 答案：(,1]

变式练习

1、对于满足p2的所有实数p,求使不等式x2px1p2x恒成立的x的取值范围。

2、对任意a[1,1]，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围。

解：令f(a)(x2)ax24x4，则原问题转化为f(a)0恒成立（a[1,1]）。

当x2时，可得f(a)0，不合题意。

2时，f(msin)f(1m)0恒成立，则实数m的取值当x2时，应有f(1)0解之得x1或x3。

f(1)0故x的取值范围为(,1)(3,)。

3、若函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x∈________. 解析：由题意可知f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，

∴f(mx－2)＋f(x)<0可变形为f(mx－2)

∴mx－2<－x，将其看作关于m的一次函数g(m)＝x·m－2＋x，m∈[－2，2]，

可得当m∈[－2，2]时，g(m)<0恒成立，

2由g(2)<0，g(－2)<0，解得－2

32－2，

答案：3

提高练习

（2011，卢湾，一模）已知函数f(x)2x2xa（常数aR)．

（1）若a1，且f(x)4，求x的值；

（2）若a4，求证函数f(x)在[1,)上是增函数；

（3）若存在x[0,1]，使得f(2x)[f(x)]2成立，求实数a的取值范围．

解：（1）由a1,f(x)4，可得2x2x4，设2xt，

则有tt14，即t24t10，解得t25

………………2分

当t25时，有2x25，可得xlog2(25)．

当t25时，有2x25，此方程无解．

故所求x的值为log2(25)．

………………4分

（2）设x1,x2[1,),且x1x2，则f(x1)f(x2)(2x12x1a)(2x22x2a)

2x22x12x12x2x1x2(22)x1x2ax1x2(2a)

………7分

22x1x2xx由x1x2，可得2122，即2x12x20

由x1,x2[1,),x1x2，可得x1x22，故2x1x240，

又a4，故2x1x2a，即2x1x2a0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

故函数f(x)在[1,)上是增函数．

………………10分

（3）由f(2x)[f(x)]222x22x22x2a22xa2

22x(a2a)2a0

………………12分

设t22x，由x[0,1]，可得t[,1]，由存在x[0,1]使得f(2x)[f(x)]2，

可得存在t[,1]，使得(a2a)t2a0，

………………14分

令g(t)(a2a)t2a0，故有g()(a2a)2a0或g(1)(a2a)2a0，

可得7a0．即所求a的取值范围是(7,0)．

………………16分



函数性质法

二次函数型

设f(x)axbxc(a0)，

①f(x)0在xR上恒成立a0且0；f(x)0在xR上恒成立214141414a0且0。

②

若二次函数f(x)ax2bxc(a0)0（或0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例

已知关于x的不等式(m24m5)x24(m1)x30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论．

解：(1)当m4m50时，即m1或m5，显然m1时，符合条件，

m5不符合条件; 2(2) 当m4m50时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得

2m4m50,，解得1m19．

2216(m1)12(m4m5)02综合(1)(2)得，实数m的取值范围为1,19．

例

已知函数f(x)xax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求2a的取值范围. aa2解：f(x)xa3，令f(x)在2,2上的最小值为g(a). 24

（1）当2a72，即a4时，g(a)f(2)73a0

a

又a4

23a不存在. aa2aa30 （2）当22，即4a4时，g(a)f()2246a2

又4a4 4a2

（3）当a2，即a4时，g(a)f(2)7a0

2

a7

又a4

7a4 综上所述，7a2. 【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定】

提高练习

(2012. 长宁理. 22) 设函数f(x)a(k1)a(a0且a1)是定义域为R的奇函数．

（1）求k值；

（2）若f(1)0，试判断函数单调性并求使不等式f(xtx)f(4x)0恒成立的t的取值范围；

解:（1）∵f(x)是定义域为R的奇函数，

∴

f(0)=0，

∴1(k1)0，

∴

k2. 2xx

（2）f(x)axax(a0且a1),

Qf(1)0,a10,又a0,且a1,0a1

aQax单调递减，ax单调递增，故f(x)在R上单调递减．

不等式化为f(x2tx)f(x4)

x2txx4,即x2(t1)x40恒成立，

(t1)2160，解得3t5．



函数性质法

函数最值法

若所给函数能直接求出最值，则有：

f(x)0恒成立f(x)min0（注：若f(x)的最小值不存在，则f(x)0恒成立；f()f(x)的下界大于0）x0恒成立f(x)max0（注：若f(x)的最大值不存在，则。

f(x)0恒成立f(x)的上界小于0）【注】当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

（2013理12）设a为实常数，yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，8

,7a2f(x)9x7．若f(x)a1对一切x0成立，则a的取值范围为

x



分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有(下面的为参数为例) 利用分离参数法来确定不等式fx,0,（

xD,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：

（1）

将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；

（2）

求fx在xD上的最大（或最小）值；

（3）

解不等式gf(x)max(或gfxmin) ，得的取值范围。

适用题型：（1）

参数与变量能分离；（2）

函数的最值易求出。

例（2006理，12）三个同学对问题“关于x的不等式x225x35x2ax在1,12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”

乙说：“把不等式变形为左边含变量丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”

a的取值范围为x的函数，作出函数图像”

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，则______________ 解析：关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映

232设fxx25x5x,gxax. 甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，

232设fxx25x5x,gxax

其解法相当于解下面的问题：对于x11,12,x21,12,若fx1gx2恒成立,求的取值范围. a所以，甲的解题思路与题目x1,12,fxgx恒成立,求a的取值范围的要求不一致。因而, 甲的解题思路不能解决本题. 232按照丙的解题思路需作出函数fxx25x5x的图象和gxax的图象。然而，函数fx的图象并不容易作出。

由乙的解题思路，本题化为fxa在x1,12上恒成立，等价于x1,12时，

xfxa成立

xmin由fx25xxx5在x51,12时，有最小值10，于是a10. xx

变式练习

21、（虹口区2010学年度第二学期高三年级数学）不等式x3axa对一切3x4恒成立，则实数a的取值范围是

．a3

2、不等式x3x1a23a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为________.

【答案】a1或a4. 3、函数f(x)x1x3，若不等式若不等式t1t2f(x)对一切的xR恒成立，则实数t的取值范围为______

4、（2015学年，复旦附中高三第一学期期中）已知向量（1）求f(x)的表达式，并求函数f(x)在[（2）若对任意x[0,a(3sin3x,y),b(m,cos3xm)(mR)，且ab0. 设yf(x).

218,9]上图像最低点M的坐标. 93sin3xm0解：（1）ab0，即，

ycos3xm0]，f(x)t9x1恒成立，求实数t的范围. 消去m，得y3sin3xcos3x，

即f(x)

x[3sin3xcos3x2sin(3x]时，

3x6)，

51[,]，sin(3x)[,1]，

618936622即f(x)的最小值为1，此时x

92,所以函数f(x)的图像上最低点M的坐标是(（2）f(x)t9x1, 即2sin(3x当x[0,2,1)

96)9xt1，

9]时,

函数f(x)2sin(3x6)单调递增，y9x单调递增，

所以y2sin(3x所以y2sin(3x要2sin(3x

提高练习

6)9x在[0,9]上单调递增，

6)9x的最小值为1, 6)9xt1恒成立，只要t11，所以t0为所求. x（2008理，19）已知函数f(x)21。

2|x|(1)若f(x)2，求x的值。

(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围。

【出题背景：本题考查函数的概念、简单指数方程的解法及含字母系数的不等式的解法。】

x解：（1）当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)21。

2x

x由条件可知212，即22x22x10

x2解得

212，

xQ2x0,Qxlog2(12)

11t)m(2)0，即m(22t1)(24t1)。

2tt22t2t

（2）当t[1,2]时，2(2Q22t10，m(22t1)。

Qt[1,2]，(22t1)[17,5]，

故m的取值范围是[5,)。

2、（2011，长宁一模）设fxlog1（1）求a的值；

（2）判断函数f(x)在x(1,)时的单调性，并说明理由；

1axx为奇函数，a为常数。

x121（3）若对于区间3,4上的每一个x值，不等式fxm恒成立，求实数m取值2范围。

解：（1）由条件得：f(x)f(x)0，log12x1ax1axlog10，化简得x1x12(a21)x20，因此a210,a1，但a1不符合题意，因此a1。

（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）……. 4分

（2）f(x)log12x12xlog1(1)x，……………. 6分

x1x1222)单调递增，f(x)单调递增。

单调递减，因此log1(1x1x121212当x(1,)时，（也可以利用单调性的定义判断，对照给分）……………. 10分

xx（3）不等式为mf(x)()恒成立，m[f(x)()]min。…….12分

1f(x)在x[3,4]上单调递增，()x在x[3,4]上单调递减，

21f(x)()x在x[3,4]上单调递增，………………………

16分

2

当x3时取得最小值为

1515，m(,)。……………. 18分

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