小结ppt配套的教案及板书设计

第2讲

统计与统计案例

抽样方法[学生用书P54]

[核心提炼]

1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．

2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．

3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．

(1)(2017·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是(

) (注：下表为随机数表的第8行和第9行) 第8行

63

01

63

78

59

16

95

55

67

19

98

10

50

71

75

12

86

73

58

07

44

39

52

38

79

第9行

33

21

12

34

29

78

64

56

07

82

52

42

07

44

38

15

51

00

13

42

99

66

02

79

54

B．25 D．52 A．07

C．42

(2)(2017·高考江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件．

【解析】

(1)依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52，选D.

(2)应从丙种型号的产品中抽取

30060×＝18(件)．

200＋400＋300＋100【答案】

(1)D

(2)18

抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．

【对点训练】

1．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：

学历

本科

研究生

35岁以下

80

x 35～50岁

30

20

50岁以上

20

y

在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率5x为，则的值为________．

39y105解析：由题意，得＝，解得N＝78.

N39所以35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，

482010所以＝＝，

80＋x5020＋y解得x＝40，y＝5.

x即＝8.

y答案：8 2．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋进行检查，将3 000袋奶粉按1，2，…，3 000随机编号，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为__________．

3 000解析：由题意知抽样间隔为k＝＝20，又第一组抽出的号码是11，则11＋60×20150＝1 211，故第六十一组抽出的号码为1 211.

答案：1 211

用样本估计总体[学生用书P55] 考向1

用统计图表估计总体

直方图的两个结论

(1)小长方形的面积＝组距×频率＝频率．

组距(2)各小长方形的面积之和等于1.

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．

图①

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评

分分组

频数

[50，60)

2

[60，70)

8

[70，80)

14

[80，90)

10

[90，100]

6 (1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．

图②

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

满意度评分

满意度等级

低于70分

不满意

70分到89分

满意

不低于90分

非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．

【解】

(1)如图所示．

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．

(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．

记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．

考向2

用样本的数字特征估计总体

统计中的四个数字特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即

1x＝(x1＋x2＋…＋xn)．

n(4)方差与标准差

1方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

n标准差：

s＝1[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]. n

(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(

) A．x1，x2，…，xn的平均数

B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值

D．x1，x2，…，xn的中位数

(2)(2017·高考山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据

(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(

)

A．3，5

C．3，7

B．5，5 D．5，7 【解析】

(1)标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.

(2)根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，

56＋62＋65＋74＋（70＋x）所以

5＝59＋61＋67＋（60＋y）＋78，

5解得x＝3.故选A. 【答案】

(1)B

(2)A

(1)关于平均数、方差的计算

样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别注意区分方差与标准差，不能混淆，标准差是方差的算术平方根．

(2)求解频率分布直方图中相关数据的两个注意点

频率一是小长方形的面积表示频率，其纵轴是，而不是频率．

组距二是各组数据频率之比等于对应小长方形的高度之比．

【对点训练】

1．(2017·合肥质量检测(二))某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110，114，121，119，126，则这组数据的方差是________．

解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可以先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0，4，11，9，16，其平均数为8，根据方差公式可得

（0－8）2＋（4－8）2＋（11－8）2＋（9－8）2＋（16－8）2s＝＝30.8.

52答案：30.8 2．(2017·武昌调研)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5]，[0.5，1)，…，

[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．

解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，

同理，在[0.5，1)，[1，1.5)，[1.5，2)，[2，2.5)，[2.5，3)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.5a，0.20，0.26，0.5a，0.06，0.04，0.02.

由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，

解得a＝0.30.

(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.

由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.

(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，

而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，

所以2.5≤x＜3.

由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，

解得x＝2.9.

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

回归分析[学生用书P56] [核心提炼]

1．线性回归方程

∑xy－nxy^^^^i＝1ii^^－－方程y＝bx＋a称为线性回归方程，其中b＝n，a＝y－bx，(x，y)称为2∑

x 2i－nx＝i1n样本点的中心．

2．样本数据的相关系数r

r＝i1n－∑

（x－x）（yi－y）i＝ni＝1ni1－2∑

（x－x）i＝，

2∑

（yi－y）反映样本数据的相关程度，|r|越大，则相关性越强．

(2017·高考全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序

零件尺寸

抽取次序

零件尺寸

1

9.95

9

10.26

2

10.12

10

9.91

3

9.96

11

10.13

4

9.96

5

10.01

13

9.22

6

9.92

14

10.04

7

9.98

15

10.05

8

10.04

16

9.95 12

10.02

－116经计算得x＝xi＝9.97，s＝16i＝1116－

（xi－x）2＝16i＝116－21x2≈0.212,

i－16x16i＝1其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.

(1)求(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．

－－(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x－3s，x＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

－－(ii)在(x－3s，x＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01) 附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数－

（xi－x）（yi－y）

.0.008≈0.09. i＝1nnr＝i＝1n－

（xi－x）2i＝1

（yi－y）2【解】

(1)由样本数据得(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数为

r＝i116－∑

（x－x）（i－8.5）i＝16i＝116i1－2∑

（x－x）i＝

2∑

（i－8.5）

＝－2.78≈－0.18.

0.212×16×18.439由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

(2)(i)由于x＝9.97，s≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x－3s，x＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．

1(ii)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02，

15这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，

i＝122∑x2i＝16×0.212＋16×9.97≈1 591.134，

16剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为

1(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，

15这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.

(1)求线性回归方程的步骤

^^^④写出回归方程y＝bx＋a.

－[注意]

样本中心(x，y)必在回归直线上．

(2)相关系数

当r>0时，表明两个变量正相关；

当r<0时，表明两个变量负相关.

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.

【对点训练】

（2016·高考全国卷Ⅲ）

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；,(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

^^^回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

^－9.32(2)由y＝7≈1.331及(1)，得b＝－0.103×4≈0.92.

2.89^－^－＝28≈0.103，a＝y－bt≈1.331

^所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.

^将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．

独立性检验[学生用书P58]

[核心提炼]

1．2×2列联表

设两个变量A，B，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2，变量B：B1，B2，则2×2列联表如下：

A1

A2

总计

2.K2的计算公式

n（ad－bc）2K＝(其中n＝a＋b＋c＋d)．

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）2B1

a c a＋c B2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

3．两个分类变量A和B是否有关系的判断方法

(1)当K2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B没有关联；

(2)当K2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；

(3)当K2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；

(4)当K2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联；

(5)当K2>10.828时，有99.9%的把握判定变量A，B有关联．

(2017·高考全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：

(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法

新养殖法

箱产量＜50 kg

箱产量≥50 kg

(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．

附：

P(K2≥k)

k

n（ad－bc）2K＝. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）20.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828 【解】

(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为

(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.

因此，事件A的概率估计值为0.62.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

旧养殖法

新养殖法

2箱产量<50 kg

62

34

箱产量≥50 kg

38

66 200×（62×66－34×38）2K＝≈15.705.

100×100×96×104由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．

独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据制成2×2列联表；

n（ad－bc）2(2)根据公式K＝计算K2的值；

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）2(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作出统计判断．

【对点训练】

(2017·郑州第一次质量预测)近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：

PM2.5 指数

空气

质量

天数

[0，50]

(50，

100]

良

13

(100，

150]

轻微

污染

18

(150，

200]

轻度

污染

30

(200，

250]

中度

污染

9

(250，

300]

中度重

污染

11

>300

重度

污染

15 优

4

记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位：元)，PM2.5指数为x.当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间(100，300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2 000元．

(1)试写出S(x)的表达式；

(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；

(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？

附：

P(K2≥k0)

k0

20.25

1.323

0.15

2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828 n（ad－bc）2K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

供暖季

非供暖季

合计

非重度污染

重度污染

合计

100

0，x∈[0，100]解：(1)依题意，可得S(x)＝4x－100，x∈（100，300].

2 000，x∈（300，＋∞）(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A，

39由500

100(3)根据题中数据得到如下2×2列联表：

供暖季

非供暖季

合计

非重度污染

22

63

85

重度污染

8

7

15

合计

30

70

100

100×（63×8－22×7）2K的观测值k＝≈4.575>3.841，

85×15×30×702所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．

课时作业[学生用书P125(单独成册)] [基础达标] 1．(2017·南昌第一次模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n＝(

) A．860

C．1 020

B．720 D．1 040 1 200解析：选D.根据分层抽样方法，得×81＝30，解得n＝1 040.故选D. 1 000＋1 200＋n2．(2017·广西三市联考)

在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选B.由图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2. 3．(2017·长春质量检测(二))如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是(

)

A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

解析：选D.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低居于前三位的城市分别为天津、西安和南京，故D错误．选D. 4．(2017·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：

广告费x 销售额y 2

29

3

41

4

50

5

59

6

71 ^^由上表可得回归方程为y＝10.2x＋a，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为(

) A．101.2万元

C．111.2万元

B．108.8万元

D．118.2万元

1－1解析：选C.根据统计数据表，可得x＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y＝×(29＋41＋5055^^＋59＋71)＝50，而回归直线y＝10.2x＋a经过样本点的中心(4，50)，

^所以50＝10.2×4＋a，

^解得a＝9.2，

^所以回归方程为y＝10.2x＋9.2，

所以当x＝10时，y＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C. 5．(2017·宝鸡质量检测(一))对一批产品的长度(单位：

毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为(

)

A．5

C．10

B．7 D．50 解析：选D.根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋

0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，选D. 6．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．

7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481 解析：由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01. 答案：01 7．(2017·长沙模拟)

空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数为________．(该年为365天) 2解析：该样本中AQI大于100的频数为4，频率为，以此估计此地全年AQI大于100522的频率为，故此地该年AQI大于100的天数约为365×＝146.

55答案：146 8．(2017·石家庄质量检测(二))设样本数据x1，x2，…，x2 017的方差是4，若yi＝2xi－1(i＝1，2，…，2 017)，则y1，y2，…，y2 017的方差为________．

－－解析：设样本数据的平均数为x，则yi＝2xi－1的平均数为2x－1，则y1，y2，…，y2 017的方差为1－－－[(2x1－1－2x＋1)2＋(2x2－1－2x＋1)2＋…＋(2x2 017－1－2x＋1)2]＝2 0171－－－4×[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x2 017－x)2]＝4×4＝16.

2 017答案：16 9．(2017·福州五校第二次联考)为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下：

理科：79，81，81，79，94，92，85，89 文科：94，80，90，81，73，84，90，80 (1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；

(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；

(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．

1－－－(参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，n－其中x为样本平均数) 解：(1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：

(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下：

1－x理＝×(79＋81＋81＋79＋94＋92＋85＋89)＝85，

81－x文＝×(94＋80＋90＋81＋73＋84＋90＋80)＝84.

81222222s2理＝×[(79－85)＋(81－85)＋(81－85)＋(79－85)＋(94－85)＋(92－85)＋(85－885)2＋(89－85)2]＝31.25，

1222222s2文＝×[(94－84)＋(80－84)＋(90－84)＋(81－84)＋(73－84)＋(84－84)＋(90－884)2＋(80－84)2]＝41.75.

－－2由于x理＞x文，s2理＜s文，

所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．

(3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A，B，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a，b，c，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc.其中全是文科组同学的情况只有abc一种，没有全是理科组同学的情况．

记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M，则P(M)＝1－19＝. 101010．(2017·张掖第一次诊断考试)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：

年龄

支持“延迟退休”的人数

15

5

15

28

17 [15，25)

[25，35)

[35，45)

[45，55)

[55，65]

(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；

支持

不支持

合计

45岁以下

45岁以上

合计

(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人，求至少有1人是45岁以上的概率．

参考数据：

P(K2≥k0)

k0

20.100

2.706

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828 n（ad－bc）2K＝

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1)2×2列联表如下：

支持

不支持

45岁以下

35

15

45岁以上

45

5

合计

80

20

合计

250

50

100

100×（35×5－45×15）225因为K＝＝＝6.25>3.841，

450×50×80×20所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．

(2)从不支持“延迟退休”的人中，45岁以下应抽6人，45岁以上应抽2人．

记45岁以下的为1，2，3，4，5，6；45岁以上的为A，B，

则有1→2，3，4，5，6，A，B，

2→3，4，5，6，A，B，

3→4，5，6，A，B，

4→5，6，A，B，

5→6，A，B，

6→A，B，

A→B，

1513故所求概率为1－＝. 2828[能力提升] 1．(2017·高考山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关^^^关系，设其回归直线方程为y＝bx＋a.已知错误!i＝1 600，错误!＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(

) A．160

C．166

B．163 D．170 ^^－^解析：选C.由题意可知y＝4x＋a，又x＝22.5，y＝160，因此160＝22.5×4＋a，所以^^^a＝70，因此y＝4x＋70.当x＝24时，y＝4×24＋70＝96＋70＝166. 12222．(2017·陕西质量检测(一))已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2＝(x21＋x2＋x3＋x4－416)，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为________．

1－－－－解析：由方差公式s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋(x3－x)2＋(x4－x)2]，

41－2222得s2＝(x21＋x2＋x3＋x4)－x，

4112222222又已知s2＝(x2＋x＋x＋x－16)＝(x＋x＋x＋x)－4，

4123441234－所以x2＝4，

1－－所以x＝2，故[(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)]＝x＋2＝4.

4答案：4 3．(2017·福州综合质量检测)在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如下表：

运动员

A B C D E F G H 1

3

1

9

7

3

4

10

12

2

2

3

8

8

12

11

12

12

3

2

5

6

4

5

6

12

6

比赛场次

4

2

1

1

4

8

9

8

12

5

4

10

1

3

2

3

12

7

6

2

4

1

1

7

6

10

12

7

6

4

2

8

5

8

7

12

8

9

10

11

总分

21

28

28

35

42

47

71

73 (1)根据表中的比赛数据，比较运动员A与B的成绩及稳定情况；

(2)从前7场平均分低于6.5分的运动员中，随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查，求至少1个运动员平均分不低于5分的概率；

(3)请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．

解：(1)由表中的数据，我们可以分别计算运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差，作为两运动员比赛的成绩及衡量两运动员稳定情况的依据．

－1运动员A的平均分x1＝×21＝3，

712222方差s21＝×[(3－3)＋(2－3)×4＋(4－3)＋(6－3)]＝2；

7－1运动员B的平均分x2＝×28＝4，

7122222方差s22＝×[(1－4)×2＋(3－4)＋(5－4)＋(10－4)＋(4－4)×2]＝8.

7从平均分和积分的方差来看，运动员A的平均分及积分的方差都比运动员B的小，也就是说，前7场比赛，运动员A的成绩优异，而且表现较为稳定．

(2)由表可知，平均分低于6.5分的运动员共有5个，其中平均分低于5分的运动员有3个，分别记为a1，a2，a3，平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个，分别记为b1，b2，

从这5个运动员中任取2个共有10种情况：

a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，

其中至少有1个运动员平均分不低于5分的有7种情况．

设至少有1个运动员平均分不低于5分为事件A，

7则P(A)＝.

10(3)尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假定每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后比赛的成绩．从已经结束的7场比赛的积分来看，运动员A的成绩最为优异，而且表现最为稳定，因此，预测运动员A将获得最后的冠军．而运动员B和C平均分相同，但运动员C得分总体呈下降趋势，所以预测运动员C将获得亚军．

(说明：答案不唯一，其他言之有理的答案也给满分) 4．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

－18表中wi＝xi，w＝wi.

8i＝1(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截

距的最小二乘估计分别为

解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．

由于

c^ ＝y－d^ w＝563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，

因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x. (3)①由(2)知，当x＝49时，

年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，

年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12. 13.6所以当x＝＝6.8，

2即x＝46.24时，z^取得最大值．

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．