二 一般形式的柯西不等式优秀公开课教案

3.2 一般形式的柯西不等式

教学目标：

1.

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.

通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法

教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 上一节课，我们认识了二维形式的柯西不等式，运用该不等式可以求一些最值及证明一些不等式. 下面我们来做几个巩固练习: 1.已知a,b为任意实数,求证:(a4b4)(a2b2)≥(a3b3)2

x2y22. 设x,yR,求证: 2≥1

yyxx2yx3.已知x2y1,求x2y2的最小值. 4.设x,yR,且x+2y=36,求12的最小值

xy5.求函数y21x2x1的最大值.

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二、讲授新课：

探究:从平面向量的几何背景能得到≥,将平面向量的坐标代入,化简后得二维形222式的柯西不等式:(a1a2)(b12b2)≥(a1b1a2b2)2,当且仅当a1b2a2b1时,等号成立.

类似地,从空间向量的几何背景也能得到≥,将空间向量的坐标代入,化简后

得三维形式的柯西不等式: 2222(a12a2a3)(b12b2b3)≥(a1b1a2b2a3b3)2, 当且仅当,共线时,等号成立.即0,或存在一个实数k,使得aikbi(i1,2,3)时,等号成立

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，n）为任意实数，则：(a12a22其中等号当且仅当an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)

bb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

a1a2an

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三、应用举例：

例1已知a1,a2,,an都是实数，求证：1(aa2n122an)2≤a1a22an

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：

a2b2c2d2abbccdda

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

例3、已知 x2y3z1,求 x2y2z2

的最小值.

分析：由

x2y3z1以及

x2y2z2

的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

补充练习: 1.已知实数a,b,c,d,e满足abcde8,

a2b2c2d2e216,求e的取值范围.

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2.已知x,y,zR,且xyz1,求证:

四、课外练习:

149≥36 xyz1在ABC中,设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R,111求证:(a2b2c2)(222)36R2sinAsinBsinC

2.设a,b,c为正数,且abc1,121212100求证:(a)(b)(c)abc3

五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。

六、布置作业：P41 1，2，3，4，

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