信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例优质课一等奖教案

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

安庆市第二中学

王庆

【三维目标】：

知识与技能：1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域。

2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域。

过程与方法：培养学生观察、联想以及作图的能力。

情感态度与价值观：培养学生数形结合思想，激励学生勇于创新。

教学重点：会求二元一次不等式（组）表示平面的区域。

教学难点：如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。

教学过程：

一、创设情境

现实生活中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究。如下面实例：

一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%。那么，信贷部应该如何分配资金呢？

设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为y元. 资金总数为25 000 000元,得到xy25000000

（12%）x（10%）y30000

共创收30 000元以上，企业贷款和个人贷款的资金总数额都不能是负值，x0，y0

xy2500000012x10y30000所以，满足条件为：。

x0y0二、新课讲授

1.二元一次不等式与二元一次不等式组概念

二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元 一次不等式。

二元一次不等式组：把几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等 式组。

2.二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式（组）的x，y的取值有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

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问题1：一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的点，那么二元一次不等式（组）的解集是否有集合意义呢？如果有，那又表示什么图形呢？

问题2：在平面直角坐标系中，直线xy-10将平面分成几部分？

三部分：（1）点在直线上；（2）点在直线的左上方；（3）点在直线右下方。

问题3：满足不等式xy10点对应平面内那部分？

直线上点坐标满足方程xy-10，直线两侧的点代入xy-1会有什么情况？

区域内的点

右上方点

(1,1) 代入点坐标

(2,0) (2,1) (2,2)

左下方点

(0,0) (-1,0) (-1,1) (0,-1)

y o x xy-1的正负

x，y）总结1.点集（|xy-10表示直线xy-60左下方区域；

x，y） 点集（|xy10表示直线xy-60右上方区域；

直线xy-10称为这两个区域的边界。

问题：上方是否符号一定就是正,下方就是负呢？举例：xy10表示哪片区域？ 规律：同侧同号，异侧异号；系数正，左负又正。

方法总结：画二元一次不等式表示区域步骤：

1. 二元一次不等式Ax+By+C＞0（<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2. 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点。

口诀：线定界，点定域。

注意：画直线注意虚实，取点一般用(0,0)。

三、例题讲析

例1：画出不等式x+4y<4表示的平面区域。

（让学生按照总结的方法，在坐标系中画出不等式x+4y<4表示的平面区域，教师检查学生画图的情况。）

师启发：“你们是怎么画出图像的？谁能总结一下画图的过程？”

解：先画直线x4y4（画成虚线）。

取原点（0，0），代入x4y4,∵0+4×0-4=-4＜0, ∴原点在x4y4表示的平面区域内，不等式x4y4表示的区域如图：

2

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点。

变式：画出不等式所表示的平面区域

y

（1）x4y40

（2）xy40

（3）xy40

O x x+4y=4 xy50例2：用平面区域表示.不等式组xy0的解集。

x3分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

总结：画二元一次不等式组表示的区域步骤：

1.线定界，2.点定域，3.交定区。

练习：表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)＞0的点(x,y)所在区域应为：( ) y y 1 O y 1 2 χ

(A) O y 2 χ

(B) 1 O 1 2 χ

(C) O 2 χ

(D)

例3：写出表示下列区域的二元一次不等式组。

方法总结：根据平面区域写出二元一次不等式（组）的步骤：

1.求边界直线的方程

2.代入区域内的点定号

3.写出不等式（组）

例4：试确定m使点(1，2)和(1，1)在直线3xym0的异侧.

3

分析：由于在异侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m 所得数值异号，

有（3-2+m）（3-1+m）<0所以（m+1）(m+2) <0即：-2

变式：变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？

xy50例5：求二元一次不等式组y2所表示的平面区域的面积。0x2y C D x-y+5=0 5 2 A B 2 y=2 -5 o x=2 x

四．课堂小结

（1）二元一次不等式表示平面区域：是直线某一侧所有点组成的平面区域。

（2）二元一次不等式组表示平面区域：是各个不等式所表示平面区域的公共部分

（3）判断方法：直线定界，特殊点定域；系数正，左负又正。

五．作业布置

布置作业：课本P86 练习1、2、3

教学反思

本节课内容在学习了一元一次不等式及几何意义的基础上的提升，学习二元一次不等式（组）的相关概念和几何表示。学生用平面区域表示二元一次不等式（组）的关键步骤为：直线定边界，特殊点定区域。学生在画平面区域时容易出现两种错误：一、直线画错了，二、区域画反了。尽管学生在出中已经学习过直线的基础知识，但由于必修二放在必修五的后面学习，学生对画直线不是很熟练。所以，在教学中应该教会学生用直线与坐标轴两个交点画直线。学生画平面区域能力需要通过练习才能得到提高，因此教学中让学生动手动脑是关键。

本节课内容相对简单，但是需要画图，因此信息技术的应用节省了时间、扩大课了堂容量。

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