小结多媒体教学设计及其点评

教学设计

主讲人

专题名称

课题名称

一、背景分析

本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式的引入与学习是必要的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以基本不等式应重点研究。

从教学设计理念上来看，教学中教师应发挥组织者、引导者、合作者的作用，不仅要让学生接受、记忆、模仿和练习，更要注重引导他们自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，引导学生主体参与、探究本质、经历过程。

从知识应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求周长一定，面积最大；面积一定，周长最小”等实际问题的计算中也经常涉及到。

从学生能力的培养来看，基本不等式的探究与推导有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学建模能力的良好载体。

张 乐

必修5 第三章 不等式

不等式小结（第3课时）：基本不等式

二、教学目标

1、知识与技能

(1)探索并了解基本不等式的证明过程；

(2)了解基本不等式的代数及几何背景；

(3)会用基本不等式建立数学模型解决实际生活中简单的最大（小）值问题。

2、过程与方法

通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想以及数学建模的方法。

3、情感态度与价值观

通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

三、教学重点

重点：基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式模型的应用。

难点：基本不等式模型的应用，包括解决实际问题，求最值。

四、教学方法

讲授法、演示法、讨论法、探究法、练习法

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五、教学过程

一、课前准备

（预习教材P97~ P100，找出疑惑之处）

二、新课导学

※

探索新知

合作探究1：国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届

大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行

一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.

问题 1：有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，

它的会标是什么？会标有什么含义呢？

问题

2：这会标中有____个直角三角形？它们全等吗？图中有____个正方形？大小如何？

问题3: 假设直角三角形直角边分别为a、b,则外正方形边长=____;外正方形面积S=____；

4个直角三角形面积之和S’=__________；外正方形面积S与四个直角三角形面积之和S’大小关系如何？用不等式表示为：_____________.

问题4：假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成_________,外正方形面积S与四个直角三角形面积之和S’大小关系如何？用不等式表示为：__________________. 问题5：综上，外正方形面积与四个直角三角形面积之和大小关系用一个不等式表示：_________________. 新知1：一般地,对于任意实数a,b,我们有 ,当且仅当_____时,等号成立.（重要不等式）

问题6：你能给出它的证明吗？

问题7：特别地,如果a0,b0,用a和b分别代替重要不等式中的a、b,可得_________, 也可写成__________，你能给出它的证明吗？

新知2：一般地,如果________,我们有________,当且仅当_____时,等号成立。（基本不等式）

ab问题8：通常我们把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均2数。所以基本不等式又可叙述为为 ，所以基本不等式又叫做_____________. D 合作探究2：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，

AC=a,BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.

问题1：用a, b表示半径OD =______.

O B A a C b 问题2：因为△ACD______△BCD，所以有__________________，

因而半弦CD=_________. 问题3：圆的半弦CD与半径OD大小关系如何?什么时候才能相等？

E 用一个不等式表示：_______________. 结论：基本不等式的几何意义为：______________________________. 合作探究3：小游戏

（1）把36写出两个正数的积，比一比谁写的两个正数的和最小，你如何证明；

（2）把12写出两个正数的和，比一比谁写的两个正数的积最大，你如何证明. 新知3：两个正数积为定值P时，和有最____值为___；两个正数和为定值S时，积有最____值为______.

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※

定理应用

例1 (1) 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2) 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解后反思：通过本题的解答，你可以总结出这类应用问题解题方法和步骤吗？

变式：一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

例2 某工厂要建造长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为 150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

三、总结提升

1.本节课推导并证明基本不等式的方法是什么？体现什么数学思想？

2.运用基本不等式的条件有哪些？基本不等式有哪些变形？

3.本节基本不等式解决了哪些问题？需要注意什么？

课后作业

作业：课本P101 习题3.4 A组第3、4题

探讨：基本不等式还能解决哪些问题？

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

课后检测（限时：10分钟）正答率：________ 1.在下列函数中，最小值为2的是（

）

x51

A. y(xR,x0)

B. ylgx(1x10)

5xlgx1(0x)

C. y3x3x(xR)

D. ysinxsinx242.函数yxx-1的值域为______.

x13.已知x>0，y>0且2x+5y=20，则xy的最大值为_____. 4.阳春一中要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽

为2 m和4 m的小路(如图所示).问游泳池的长和宽分别为多少米时,占地面

积最小？并求出占地面积的最小值．

六、教学设计说明及反思

整堂课主要采用

“问题—思考—剖析—证明—应用”的流程，让学生通过思考问题、以及几何图形中面积或线段关系进一步验证相应的结论，然后再证明基本不等式，最后再运用基本不等式解决实际问题及求最值。在教学过程中注重培养学生的数学建模能力，通过对相应例题的变式思考，培养学生自行探索、建立数学模型解决问题的能力。但是，由于学生刚刚接触基本不等式，对于其结构特点比较陌生，当遇到相应实际问题时，暂时想不到运用基本不等式模型解题，这时可以放手让学生采用其它方法尝试，然后引导学生运

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用基本不等式解题，对比体现其优点，加深学生对于基本不等式模型运用的真实体验。

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