阅读与思考 海伦和秦九韶教案3

海伦--秦九韶公式

高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积S可由以下公式求得：

s(pa)(pb)(pc)，而公式里的p1(abc)，称为半周长。

2AcbB图1

aC

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=p(pa)(pb)(pc)

11(abc)(abc)(acb)(bca)=[(ab)2c2][c2(ab)2]

4411=(a2b2c22ab)[(a2b2c22ab)]=4a2b2(a2b2c2)2

441=2a2b22a2c22b2c2a4b4c4

41教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式sabsinC和余弦定理2=111a2b2c222cab2abcosC的证明过程：sabsinC=ab1cosnC=ab1()2222ab222下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式SABC1aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。

2如图2，

1

AxBy图2DzC

x2y2c22a2c2b222在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有xzb解方程，得y，2ayzaa2b2c2a2c2b221222z，xcyc()4a2c2(a2c2b2)2下略。在求2a2a2a高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△ABC顶点A于对边BC上任一点D间的距离AD有下列等式确定：ABDCACBDADBCBDDCBC，等式改写为

222AD2AB2DCBDDCBDAC2BC2

BCBCBCBCBDABcosBa2c2b22而当点D是顶点A的正射影时,有，利用比例的性质，变形得22DCACcosCabcBDa2c2b2DCa2b2c2，，代入即求出高AD。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数22BCBC2a2a的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C =180°那么ABACBCtantan+tantan+tantan=1，

222222

2

AxxryBO内切圆zzC

y图3如图3,在△ABC中，内切圆⊙O的半径是r,则tanArCrBr, tan,tan,代入恒等式2x2z2yABACBCr2r2r2tantan+tantan+tantan=1，得1，两边同乘xyz，有等式

222222xyxzyz

r2(xyz)xyz………①

又，bca(xz)(xy)(yz)2x

，所以，xbcaacb，同理y，22zabc11。………②于是△ABC的面积S(abc)r=(yzxzxy)r=(xyz)r

22222

=(xyz)r，把①、②式代入，即得S(xyz)xyz

=1(abc)(abc)(bca)(acb)

4三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为a,b,c,d，且pabcd,则S四边形=(pa)(pb)(pc)(pd)

2现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA = e

EB = f ○○∵∠1+∠2 =180

∠2+∠3 =180

∴∠1 =∠3

∴△EAB～△ECD fbb2eSEAB

=

∴

=

=

，

22aedfcdbS四边形ABCDb(abcd)b(adbc)d2b2解得：

e =

③

f =

④由于S四边形ABCD =S△EAB

d2b2d2b2b2

3

b(d2b2)将③，④跟b =代入海伦公式公式变形，得：

22dbd2b2∴S四边形ABCD =4b2d2b22=4bdb2=4b224e2b2(e2b2f2)2

b4(abcd)2(d2b2)2b2(abcd)2b2(d2b2)2b2(adbc)224[()]224222222222(db)(db)(db)(db)b422222222224(abcd)(db)[(abcd)(db)(adbc)]224(db)



1224(db)=1224(db)=1224(db)=1224(db)=1=44(abcd)2(d2b2)2[{abcd}2{d2b2}2{adbc}2]2

4(abcd)2(d2b2)2(a2b2c2d2d4b42d2b2a2d2b2c2)

4(abcd)2(d2b2)2[b2(a2b2d2c2)d2(d2b2a2c2)

(d2b2)2[4(abcd)2(c2d2b2a2)2]

(2ab2cdc2d2b2a2)(2ab2cdd2b2a2c2)

1[(ac)2(bd)2][(bd)2(ac)2]=4

1(abcd)(abdc)(adcb)(bdca)4=

=(pa)(pb)(pc)(pd)

所以，海伦公式的推广得证。

4

EA12dB图4accD3bC5