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《3.2一元二次不等式及其解法》教学设计与反思

(高中数学必修5第三章《不等式》)

教师：古丽柯孜·安萨日

乌什县第一中学教师

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3.2一元二次不等式及其解法

(高中数学必修5第三章《不等式》)

【设计思想】

新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

【教材分析】

本节课是普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

【学情分析】

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学生已经掌握了高中所学的基本初等函数的图象及其性质, 能利用函数的图象及其性质解决一些问题。学生知道不等关系, 掌握了不等式的性质, 通过这部分内容的学习, 学生将学会利用二次函数的图象, 通过数形结合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。

【教学目标】

知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法；

过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力；

情感态度价值观：（1）通过新旧知识的联系获取新知，使学生体会温故而知新的道理

（2）通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。

（3）在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的团结合作意识和创新精神,使学生体会团结的重要性。

【教学重点】一元二次不等式的解法。

【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。

【教学方法】探究式教学方法,启发式教学法，讨论法，讲授法

【教学策略】

（创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）

【课前准备】

教具：

PPT课件,粉笔,黑板,班班通

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【教学过程】

课前测试：1.

2. 如果

3. 如果导入新课：

V≤40

h<2.5

师：在日常生活中，我们常常遇到上面的路标。在初中，我们解过一元一次不等式，先把问题交给学生自主探究，提问学生代表。

通过对上述问题的探究，学生再次回顾一元一次不等式的概念：

师生互动，探究新知

（1）引入一元二次函数的定义。

师：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式。例如x2 – x – 6 > 0. （2）通过一个具体的例子探究一元二次不等式的解法与三个“二次”的关系。

师：我们还学过一元二次方程的解法以及二次函数，请同学们画出

y = x2 – x – 6，解出x2 – x – 6 = 0的解，然后回答以下问题：

1）x 为何值时，

y = 0; 2）x 为何值时，

y > 0; 3）x 为何值时，

y < 0; 4）一元二次方程x2 – x – 6 = 0的根能从函数y = x2 – x – 6上看出来吗？

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5）一元二次不等式x2 – x – 6 > 0的解集能从函数y = x2 – x – 6上看出来吗？

教师组织学生展开讨论。巡视，指导。在充分讨论的基础上学生展示结果。教师并对结果进行归纳：

1）

2）

3）

4）

当x = -2或x = 3时，y = 0. 即x2 – x – 6 = 0；

当x < -2或x > 3时，y > 0. 即x2 – x – 6 > 0 当-2 < x < 3时，y < 0. 即x2 – x – 6 < 0 方程x2 – x – 6 = 0的根就是函数y = x2 – x – 6图象与x轴交点的横坐标的集合。

5）

不等式x2 – x – 6 > 0的解集就是函数x2 – x – 6 = 0图象在x轴上方部分对应的横坐标的集合。类似地，不等式x2 – x – 6 < 0的解集就是是函数x2 – x – 6 = 0图象在x轴下方部分对应的横坐标的集合。

【设计意图：探究一元二次不等式的解法及三个“二次”的关系。】

（3）归纳出一般的一元二次不等式y = ax2 + bx + c (a > 0)的图象解法。

根据上面的结果，师生共同归纳出结论，并完成课本77页的表格。

师：我们上面研究的二次函数的图象与x轴有两个不相等的交点，判别式大于零。对于一般的二次函数y = ax2 + bx + c (a > 0)来说，还有没有其它的情况？ 三、观察体会，归纳总结

通过上面不等式的求解，学生自己可以体会数形结合思想的运用，同时更能感受三个二次之间的关系.此时，教师趁热打铁. 问题：试根据刚才解不等式的情况,我们想想看，对于一般的一元二次不等式第

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ax2+bx+c＞0（a＞0）该如何求解呢？

学生在思考后提出自己的看法，然后老师引导学生完成下表.最后师生一起总结。

课件预案：利用PPT课件投影上表填表结果. 设计意图：通过几个具体的不等式的求解，引导学生寻求更一般的解法，使之推广，让学生体会从特殊到一般的认知规律. 优化思维，形成步骤

例1:解不等式2解：因为22不等式2的解为的解集为

例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集. 例3：求不等式4x2－4x＋1>0的解集. 问题：你能总结出解一元二次不等式的一般步骤吗？

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课件预案：利用PPT课件投影：解一元二次不等式的步骤：

①先把不等式中二次项系数化为正数；

②计算Δ=b2－4ac，解对应的一元二次方程；

③根据对应方程的根的情况，结合不等号的方向，写出不等式的解集. 设计意图：对于一元二次不等式的求解，其书写格式也需规范，通过教师板书予以示范.从求解过程中，提炼出解题步骤，形成方法，从感性认识上升到理性认识.解后反思应形成习惯，这对于学生以后的学习也是一种帮助. 练习反馈，合作检测

练1：求不等式4x2-4x >15的解集. 练2：求不等式x2-16 > 0的解集. 探究提高，深化理解

（1）

ax2+bx＋c>0对一切x都成立的条件是什么？

（2）

ax2+bx＋c<0对一切x都成立的条件是什么？

设计意图：前面一直是给出不等式然后求解，而当我们知道一个不等式的解后，能否知道这个不等式呢？这个问题的设置对于学生进一步理解三个二次之间的关系大有助益.而开放性问题的设置，也使得学生的思维空间更广阔. 课堂小结

（1）通过这堂课，你学到了什么？

（2）给你留下印象最深的是什么？ 作业

（1）阅读作业：阅读课本78页内容并完成解一元二次不等式程序图的设计. （2）书面作业：80页练习1 1,2,3,4

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【板书设计】

3.2一元二次不等式及其解法

一、一元二次不等式概念 多媒体投影部二、例题示范 分

三、解一元二次不等式步骤：①②③

四，巩固练习

五，小结 六，布置作业

【课后反思】：本节课我始终关注学生在教师的引导下，是否能够积极主动的进行探索，是否在活动中大胆尝试，并表达自己的想法，从而发现结论。为此，我以问题为载体，让学生主动探究问题，解决问题，在这一过程中使得学生的知识得以掌握，能力得到训练，情感得以体验，各方面都能取得全面和谐的发展。

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