阅读与思考 海伦和秦九韶优秀说课稿

《海伦公式》

河北省唐县第一中学 王伟轻

一

、教材分析 本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，《高中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生――在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美。 二

、学情分析

学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。 三

、教学目标

1、知识与技能：

（1）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；

（2）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

2、过程与方法：

（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维以及对知识的综合运用能力；

（2）提高学生应用海伦公式解决面积问题的能力。

3、情感态度价值观：

（1）体会到数学的简洁美；

（2）体会数学以不变应万变的魅力。 四、教学重点、难点 证明海伦秦九韶公式的过程。 五、教学方法 引导探究、实例运用。 六、教学过程设计 提出问题 如何计算三角形的面积？

实例引入 问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何

转化为图形语言为：

△ABC中，已知a=15,b=14,c=13,求三角形的面积？

运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？

新课导入

公元1世纪，希腊数学家海伦在其著作《度量论》一书中，给出了一个形式漂亮的公式：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若p =S△ABC =p(pa)(pb)(pc)

海伦秦九韶简介

亚历山大里亚的海伦（希腊语：

Ἥρων

ὁ

Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年）

，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization）科学传统方面享负盛名。海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相

传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》（度量术）中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。

秦九韶（1208年－1261年），南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，秦九韶纪念馆位于安岳县圆觉洞内，馆内建有九韶故里和天文台等景点。

1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献，求解一元高次多项式方程的数值1(a+b+c)，记 2

解的算法-正负开方术，即开高次方和解高次方程，领先英国霍纳（1819年）五百余年。

秦九韶公式的证明（正余弦定理）

1SacsinB(sinB0)2sin2Bcos2B1,sinB1cos2Bc2a2b2cosB2ac1c2a2b22Sac1()22ac122c2a2b22Sac()42海伦公式的证明（借助秦九韶公式）

122c2a2b22Sac()42a2b2(ab)(ab)1c2a2b2c2a2b2S(ca)(ca)42212acc2a2b22acc2a2b2S()()4221(ac)2b2(ac)2b2S()()422abcbcaacbabcS...2222abcSp(pa)(pb)(pc),p2海伦公式应用

问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何

自主探究

如何求三角形内切圆半径？

七、课堂小结

1、海伦公式 Sabcp(pa)(pb)(pc),p

2122c2a2b22ac()

2、秦九韶公式 S42

3、理解海伦公式与秦九韶公式的区别与联系

八、课后反思

1、本文着重带领学生理解公式的字母可变性和结构不变性，加深学生对海伦公式本质的理解，更是引领学生掌握海伦公式的本质，体会数学中以不变应万变的魅力。

2、海伦公式的应用方面，通过练习，既可以解决已知三角形三边长求面积，也可以解决涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

3、课开始时的回顾旧知与结束时的总结，强化学生对三角形面积公式的知识构建，有利于学生理解掌握该类知识，也可以使学生自潜移默化之中培养对知识框架构建的意识。