阅读与思考 九连环第二课时教学实录

等比数列前n项和

阅读与思考

九连环

一、教学目标：

1.

知识与技能：

（1）通过探究解九连环的的最少移动次数发现数列的递推关系

（2）理解用化归、分类讨论的思想解决九连环计数问题的方法,

掌握应用递推关系求数列的通项公式的方法

2.

过程与方法：

（1）经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用的学习过程

（2）通过递推法来求解九连环的最少移动次数，渗透化归思想；通过构造法、累加法来求解n连环的最少移动次数，进一步理解分类讨论的思想

3.

情感、态度、价值观：

（1）学生通过课前小组合作，分别从三个方面进行合作探究

①阅读与探究九连环的历史发展,让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感

②自制九连环,培养学生的动手能力,同时发现生活中的废旧物品重新再利用

③通过“一带一路”的方式学玩九连环的解法，让学生之间的互帮互助，互相竞争学玩九连环从而激发学生的学习兴趣

（2）通过课堂中引导学生探究九连环的最少移动次数中所反映出的

数列问题，使学生感受到数列是反映现实生活的数学模型，体会数学源于生活并应用于生活

（3）通过学生课内外合作探究的学习方式，培养学生课前阅读思考的意识和能力从而提高学生思维能力，锻炼学生的迁移能力和逻辑推理能力，孕育学生创新精神

二.

发展目标 （1）通过本节课所探究出的递推关系求解通项公式的基本方法来解

决“华生问题”

（2）通过推荐一本书《好玩的数学》让学生通过课下的阅读了解我国古代三大智力游戏七巧板，九连环，华容道中蕴含着的数学问题，感受我国古代数学的成就和数学文化的魅力。同时更加深入的了解九连环中的数学即九连环与二进制（格雷码），九连环与N次方的关系

二、教学重点：

1.

能从玩九连环的方法中归纳出解环的要点

2.

能从解九连环的的最少移动次数中发现数列的递推关系

3.

会应用递推数列有关知识推导求解九连环的最少移动次数的通项公式

三、教学难点：

1.

能从解九连环的的最少移动次数中发现数列的递推关系

2.掌握应用递推数列有关知识推导求解九连环的最少移动次数的通项公式

四、教学方法：

引导发现法，探究讨论法

五、学法指导：课前阅读探究法，归纳法

六、教具：教师自备九连环，学生每人一个，多媒体辅助教学

七：教学基本流程设计

①游戏中的数列

引入新课

②学生课前阅读与探究展示

认识九连环，自制九连环，学玩九连环

③课前探究归纳

玩九连环游戏的要点

④探究新知

解九连环最少需要移动多少次？

⑤转化数列

解九连环最少需要移动次数中蕴含的递推关系

⑥推导通项

通项公式的推导方法的再应用

⑦小结

本节课中的收获

⑧应用提升

思考“华生问题”中九连环的最少移动次数

⑨课后拓展阅读

推荐阅读《好玩的数学》一书

八、教学过程：

1.导入：生活中的数列处处可见，在一些益智游戏中也蕴含着数列，我国古代三大智力游戏之一的九连环，古印度智力游戏汉诺塔中均蕴含着数列的递推关系，引入课题

【设计意图】九连环是我国的一种传统智力玩具，与七巧板、华容道并称为我国古代三大智力玩具。生活中的数列处处可见，数学来源于生活，游戏中的数学更加有趣，激发学生的学习兴趣

2.课前阅读与探究成果展示

课前分了三个小组从三个方面进行探究

（1）第一小组展示---认识九连环

①九连环的结构 ②九连环的来源

③九连环的妙用 ④九连环的发展

（2）第二小组展示---如何制九连环（课前录制自制九连环的微视频）

①制作九连环的材料

②制作九连环的方法

（3）第三小组展示---学玩九连环

①会玩的同学教会其他同学基本的解环方法

②同学之间互帮互助探究如何玩九连环

（4）通过课堂中的比赛形式让全体同学展示课前学玩九连环的成果

比一比：解下前7环谁的速度快

（以四个小组为单位，齐心协力赢比赛）

【设计意图】课前阅读往往被数学教学冷落，而在知识拓展类的数学选修课中课前阅读显得尤为重要。因为《九连环》阅读材料内容丰富，学生只有会玩九连环才能理解其中蕴含的数列问题，在一节课内想面面俱到是不可能完成的任务，所以课前阅读成了顺利完成本节课教学任务的焦点。在本节课中让学生课前小组合作，通过查阅相关的资料或视频从三个方面认识九连环，自制九连环，学玩九连环进行阅读探究,然后再回到课堂中进行师生、生生间面对面的分享、展示学习成果。这也可以看做是翻转课堂教学模式的一种最简单的探索与尝试。

3.课前探究归纳：解九连环的要点

教师引导学生归纳课前探究九连环的玩法即：解环要点

问题1.大家在第三小组同学的指导和帮助下已经能熟练的九连环，你认为解环的要点是什么？

如：要解下要解下或套上第五个环，必须满足的条件？

(1)第4环在环柄上(2)前3环都不在环柄上。

问题2.

要解下或套上第n个环，必须满足两个条件：

(1)第n-1环在环柄上

(2)前n-2个环都不在环柄上

【设计意图】学生已经能熟练的玩九连环，因此让学生归纳解九连环方法的同时，逐步转化为归纳解九连环的要点（即第n-1环与前n-2环的关系上），为后面的递推关系的发现做好铺垫

4.

探究提升：解九连环最少需移动多少次？

（1）教师引导学生发现：解下九连环最少需要移动的次数

问题3：在刚才的比赛中影响解环快慢的原因是？

学生可能分析的原因有①手的灵活性②熟练程度

（③步骤重复

师：引导除了灵活性,熟练程度这些因素以外，步骤的重复是影响解环速度的快慢一个重要因素，也就是解的过程中存在最少移动的次数

【设计意图】引导学生发现玩九连环快慢的因素不仅仅是一些主观因素，而且还有上下移动次数的多少这一因素，由此就可以激发学生去探究解九连环的最少移动次数。

（2）明确探究方法：

小组合作

动手操作

动脑思考

若用

an 表示解下前n环所需的最少移动次数

操作: 先将1~5环从柄上取下

记录: 分别记录解下1~5连环所需的最少移动次数？

师：此处先给学生解释an

的含义，关键通过解环的状态分析

以a3含义为列解下前3环需要移动的次数，其环的状态是前2环都在环柄上，a4

, a5以此类推

（3）学生小组合作探究展示：

解下1~5连环所需的最少移动次数

a11a22a35a410a521【设计意图】让学生通过小组合作动手操作动脑思考，验证解1~5环中确实存在最少移动次数，进而引导学生将解九连环的最少移动次数转化为数列问题

（4）引导发现规律

问题4：从解1~5环最少次数中，你能发现怎样规律？

师：引导探究①利用思维导图分析解前5环的思维过程

②从数列的角度发现a5,与a3，a4

有关即a52a3a41

③进一步引导学生利用思维导图分析解九连环的思维过程

a92a7a81

即

问题5：根据以上规律如何求出解九连环最少需移动多少次？

引导学生发现递推关系即：要求a9,需求出a7, a8,

要求a8,需求出a6, a7,

要求a7,需求出a5, a6,

（5）利用递推关系验证九连环最少需移动次数

问题6：算一算解九连环最少需移动次数是多少？

a11a22a32a1a215a52a3a4121a72a5a6185

a92a7a81341a42a2a3110a62a4a5142a82a6a71170问题7：在这个解环规律中，反映出怎样的递推关系？

生：观察发现归纳出递推关系an2an2an1（1n3)

【设计意图】通过解环规律的探究让学生经历由特殊到一般的思维过程，并将解环次数问题转化为数列的递推关系

5.提升应用：如何利用这个递推关系an2an2an1（1n3)

求通项an

问题8：利用递推关系求通项公式常用的方法有哪些？（构造法，累加法，累乘法等）如何利用这些方法求解通项公式？

给学生充足的时间来求解，请一位学生展示出求解通项公式的过程

解：(1)an2an2an11an12an3an21(1)(2):anan22(an1an3)记bnanan2(1)(2)anan12an2an12an3an2bn则2bn1

当n3时，数列bn为等比数列(2)由(1)知bnb3qn342n32n1anan22n1a5a324a7a526anan22n1

当n为奇数时：a3a122以上式子相加:ana12224262n1an202224262n112n11n1(21)2312

当n为偶数时：a4a223a6a425a8a627anan22n1以上式子相加:ana22325272n1an212325272n12(12n)1n1(22)23126.得出结论：

an{1n1(22)31n1(21)3当n为偶数时当n为奇数时【设计意图】通过最少移动次数中推导出递推关系，让学生应用已经学过的求通项公式的方法来求解其通项公式，进而体会求解过程中的构造法，累加法的应用，

使学生感受到数列是反映现实生活的数学模型，体会数学源于实践并应用于实践.

7.课前阅读再思考

问题9：通过课前阅读对于课本中介绍的最少移动次数的递推关系的推导是否能理解？

结合课前探究以及本节课所讲的方法，小组讨论课本中的解法并展示讨论成果。

师：通过评价学生展示进一步解释递推关系：anan2bn1（1n3)

重点是对bn1的理解，

bn1中又存在的递推关系bn12bn21(n3)

因此类比本节课递推关系的推导方法，关键对解环的思维过程进行分

析，同时还要明确bn1所对应的环的状态的与前一种解法不同

【设计意图】由于课前布置了阅读探究，但学生对课本中的求解递推关系的过程理解起来有困难，之所以困难的原因是无法将解环的状态与数列之间建立联系，然而通过本节课探究递推数列的过程中的所应用的方法，此时再来阅读课本思考其递推关系就会比较容易

8.小结：

通过这节课的学习你收获了什么？

（1）解九连环的益处（2）发现了九连环中的数列

（3）应用到了数学方法

，数学思想

【设计意图】让学生回顾探究过程体会游戏中的数学

9、应用提升：

（1）华生问题：上个世纪70年代早期，美国一家生产玩具的公司老板杰西华生（Jesse R. Watson）提出这样一个问题：假设九连环的初始状态是只有最靠近柄把的一个环在柄上，其他所有的环都在柄下，问解开这个九连环最少需要多少步？

（2）通过阅读《好玩的数学》了解中国古代三大益智游戏：九连环、华容道、七巧板中蕴含着的数学问题，去感受我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感

【设计意图】华生问题的提出旨在让学生能应用新知，解新问题。

九连环是我国的一种传统智力玩具，与七巧板、华容道并称为我国古代三大智力玩具，它穿越古今、流行中外。给学生们推荐了《好玩的数学》这本书，以供有兴趣的学生继续探究游戏中数学，同时通过阅

读让学生感受到我国古代数学文化的博大精深

九、板书设计：

1、解环要点

（1）第n-1环在环柄上

(2) 前n-2个环不在环柄上

2、递推关系：an2an2an1（1n3)

13、通项公式：

a3(2n1n{1)1n

3(212)

当n为奇数当n为偶数