信息技术应用 估计√2的值课堂实录【1】

2．3

等差数列的前n项和(一)

[学习目标]

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．

[知识链接]

1．设梯形的上底，下底，高分别为a，b，h，把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形，则梯形的面积为________．

答案

a＋bh

22．把二次函数y＝－2x2＋4x＋3化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是________，当x＝________时，y有最大值________．

答案

y＝－2(x－1)2＋5

1

5 解析

y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x)＋3＝－2(x－1)2＋5. ∴x＝1时，y有最大值5. [预习导引]

1．数列前n项和的概念

把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn. a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．

2．等差数列前n项和公式

na1＋an(1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；

21(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d. 23．等差数列前n项和的性质

Snd(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列n也是等差数列，且公差为. 2(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. anS2n－1(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. bnT2n－1

要点一

与等差数列Sn有关的基本量的计算

例1

在等差数列{an}中．

53(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 62(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 5－3nna1＋an62解

(1)由题意，得Sn＝＝＝－5，解得n＝15. 22531又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－. 6268a1＋a884＋a8(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，

22又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. a＝a＋n－1d，n1(3)由

nn－1Sn＝na1＋2d，a＋2n－1＝11，n＝5，n＝7，1得解方程组得或

nn－1a＝3a＝－1.11na1＋2×2＝35，

规律方法

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．

跟踪演练1

在等差数列{an}中；

(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；

(2)已知a3＋a15＝40，求S17. 5×4S5＝5a1＋d＝5，2解

(1)解得a1＝－5，d＝3. a6＝a1＋5d＝10，10×9∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2(2)S17＝17×a1＋a1717×a3＋a1517×40＝＝＝340. 222

要点二

等差数列前n项和公式在实际中的应用

例2

某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每

月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？

解

设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则

a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，

a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，

…

a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，

即第10个月应付款55.5元．

由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，

60＋60－19×0.5所以有S20＝×20＝1 105(元)，

2即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．

规律方法

建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．

跟踪演练2

甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

解

(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，

nn－1有2n＋＋5n＝70，

2整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．

第1次相遇是在开始运动后7分钟．

(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，

nn－1有2n＋＋5n＝3×70，

2整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)．

第2次相遇是在开始运动后15分钟．

要点三

等差数列前n项和性质的应用

例3

(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m. Sn7n＋2a5(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．

Tnn＋3b5解

(1)法一

在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

∴30,70，S3m－100成等差数列．

∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. SmS2mS3m法二

在等差数列中，，，成等差数列，

m2m3m∴2S2mSmS3m＝＋.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. 2mm3ma59a1＋a9S965(2)＝＝＝. b59b1＋b9T912规律方法

等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．

跟踪演练3

设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列Sn的前n项和，求Tn. n解

设等差数列{an}的公差为d，

1则Sn＝na1＋n(n－1)d，

27a1＋21d＝7，∵S7＝7，S15＝75，∴

15a1＋105d＝75，a1＋3d＝1，a1＝－2，即解得

a1＋7d＝5，d＝1，

Sn11∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，

n22∵Sn＋1Sn1－＝，

n＋1n2Sn1∴数列n是等差数列，其首项为－2，公差为，

2nn－11129∴Tn＝n×(－2)＋×＝n－n. 2244

1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(

) A．12

B．24

C．36

D．48 答案

B 10a1＋a10S10120解析

由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24. 2552．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(

) A．2

B．3

C．6

D．7

答案

B S2＝2a1＋d＝4，解析

法一

由解得d＝3. S＝4a＋6d＝2041

法二

由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3. 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________. 答案

190 19a1＋a1919a10＋a10解析

S19＝＝＝19a10＝19×10＝190. 22314．已知等差数列{an}中，(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；

22(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 3nn－11解

(1)∵Sn＝n·＋·－2＝－15，

22整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，

13－＝－4. a12＝＋(12－1)×22na1＋ann1－512(2)由Sn＝＝＝－1 022，解之得n＝4. 22又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，

解之得d＝－171.

1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．

2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap的应用．

一、基础达标

1．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(

) A．18

B．27

C．36

D．45 答案

C 99解析

S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36. 22a12．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于(

) d

11A.

B．2

C.

D．4 24答案

A 解析

由题意得：

1110a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，

22a11∴10a1＝5d，∴＝. d223．已知等差数列{an}中，a23＋a8＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为(

) A．－9

B．－11

C．－13

D．－15 答案

D 22解析

由a23＋a8＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)＝9，∵an<0，

∴a3＋a8＝－3，

10a1＋a1010a3＋a810×－3∴S10＝＝＝＝－15. 2224．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于(

) A．63

B．45

C．36

D．27 答案

B 解析

数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，

∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45. ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45. 5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(

) A．765

B．665

C．763

D．663 答案

B 解析

∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，

1∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665. 26．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．

答案

(n＋1)：n

n＋1a1＋a2n＋1解析

S奇＝，

2na2＋a2nS偶＝，

2∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，

∴S奇n＋1＝. nS偶7．已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2 550，求a及k.

解

设等差数列{an}的公差为d，则由题意得

a＋3a＝2×4d＝4－akk－1ka＋2d＝2 550∴a＝2，k＝50. 8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9. 解

设等差数列的公差为d，则

3×2S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，

26×5S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8. 2a1＋d＝1，a1＝－1，由解得

2a1＋5d＝8，d＝2.

a＝2，∴d＝2k＝50

.(注：k＝－51舍)

故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15. 二、能力提升

9．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m等于(

) A．38

B．20

C．10

D．9 答案

C 2解析

因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a2m＝0，得：2am－am＝2m－1a1＋a2m－10，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－21)×2＝38，解得m＝10，故选C. 10．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(

) A．9

B．10

C．19

D．29 答案

B 解析

钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．

nn＋1∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝. 2当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200. ∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．

S31S611．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________. S63S12答案

3

10

S33a1＋3d1S66a1＋15d解析

由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝S66a1＋15d3S1212a1＋66d＝27d3＝. 90d1012．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．

nn－1解

法一

设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d. 2×9d＝100，10a＋102由已知得100×99100a＋d＝10，211

①②

①×10－②，整理得d＝－1 099代入①，得a1＝. 100110×109∴S110＝110a1＋d

211，

501 099110×10911＝110×＋×－50

1002＝1101 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 法二

数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则

10×910S10＋×d′＝S100＝10，

2又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，

∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110. 法三

设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn. ∵S10＝100，S100＝10，

10a＋10b＝100，∴2100a＋100b＝10，2

a＝－100，∴111b＝10，11

11111∴Sn＝－n2＋n，

1001011111∴S110＝－×1102＋×110＝－110. 10010三、探究与创新

13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.

(1)求数列{an}的通项公式an；

Sn(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c. n＋c解

(1){an}为等差数列，∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，

又a3·a4＝117，

∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根，

又公差d>0，∴a3

nn－1(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，

22n2－nSn∴bn＝＝，

n＋cn＋c1615∴b1＝，b2＝，b3＝，

1＋c2＋c3＋c∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，

1∴c＝－(c＝0舍去)．

211经检验，c＝－符合题意，∴c＝－. 22