2.3.2 圆的一般方程名师教学设计2

【课题】8．4

圆（一）

【教学目标】

知识目标：

掌握圆的标准方程和一般方程．

能力目标：

（1）根据条件，选择合适的方法，求出圆的标准方程及一般方程；

（2）根据圆的标准方程及一般方程，写出圆心坐标和圆的半径；

（3）通过相关问题的计算，培养学生的计算技能及分析和解决问题的能力．

情感目标：

（1）体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法．

（2）经历选择合适方法解决问题的过程，提升学生分析和解决问题的能力．

【教学重点】

圆的标准方程和一般方程的理解与应用．

【教学难点】

对圆的标准方程和一般方程的正确认识．

【教学设计】

用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要2强化对圆的标准方程xaybr的认识，其中半径为r，圆心坐标为22Oa,b．经常容易发生错误的地方是认为半径是r2，圆心坐标为Oa,b．教学中应予以强调，反复强化．

例1和例2是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．

再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．

例3是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．

求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例4就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例5就是这种类型的基础性题目．

第8章

直线和圆的方程（教案）

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教

学

过

程

*揭示课题

8．4

圆（一）

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

介绍

了解

思考

启发

学生思考

0

10

*创设情境

兴趣导入

【知识回顾】

圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹，定点叫做圆

心，定长叫做半径．如图8－18所示，将圆规的两只脚张开一

定的角度后，把其中一只脚放在固定点O，另一只脚紧贴点所质疑

在平面上，然后转动圆规一周（圆规的两只脚张开的角度不

变），画出的图形就是圆．

引导

分析

图8－18 【说明】

圆心和半径是圆的两个要素．

*动脑思考

探索新知

【新知识】

下面我们在直角坐标系中研究圆的方程．

讲解

说明

思考

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

引领

分析

理解

记忆

带领

学生

分析

25

图8－19 设圆心的坐标为C(a,b)，半径为r，点M(x,y)为圆上的任意一点（如图8－19），则

MCr，

由公式（8.1），得

将上式两边平方，得

(xa)2(yb)2r，

(xa)2(yb)2r2

这个方程叫做以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程．

特别地，当圆心为坐标原点O(0,0)时，半径为r的圆的标准方程为

x2y2r2

*巩固知识

典型例题

例1 求以点C(2,0)为圆心，r3为半径的圆的标准方程．

解

因为a2,b0,r3, 故所求圆的标准方程为

说明

强调

引领

讲解

说明

观察

思考

主动

求解

通过例题进一步领会

(x2)y9．

例2 写出圆(x2)2(y1)25的圆心的坐标及半径．

解

方程

(x2)(y1)5

可化为

(x2)2y(1)(5)2，

所以

a2,b1,22222r5，

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

故，圆心的坐标为C(2,1)，半径为r5．

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

思考

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

思考

启发

学生思考

30

35

40

【说明】

使用公式（8.8）求圆心的坐标时，要注意公式中两个括号内都是“－”号．

*运用知识

强化练习

1．根据下面条件，求出圆的标准方程，并画出图形．

（1）圆心C(1,2)，半径r2；

提问

（2）圆心C(0,3)，半径r3．

2．根据下列圆的标准方程，分别求出圆心的坐标与半径，巡视

并画出图形．

指导

22（1）(x1)y4； （2）x2(y2)23．

*创设情境

兴趣导入

【观察】

将圆的标准方程(xa)2(yb)2r2展开并整理，可得

质疑

引导

分析

xy(2a)x(2b)y(abr)0. 令D2a22222，E2b，Fa2b2r2，则x2y2DxEyF0．

（1）

这是一个二元二次方程．观察方程（1），可以发现它具有下列特点：

⑴

含x2项的系数与含y2项的系数都是1；

⑵

方程不含xy项．

那么，具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗？

*动脑思考

探索新知

将方程（1）配方整理得

DED2E24F

xy,

（2）

22422

讲解

说明

引领

分析

仔细

分析

讲解

思考

理解

记忆

引导

式启

发学

生得

出结

果

当DE4F0时，方程（2）为是圆的标准方程，其DE4FDE．

,)，半径为222方程

x2y2DxEyF0（其中D2E24F0）

叫做圆的一般方程．其中D、E、F均为常数．

【想一想】

2222圆心在(

为什么必须有D2E24F0的条件？

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

关键

词语

45

观察

思考

主动

求解

思考

求解

通过例题进一步领会

了解

学生

知识

掌握

情况

了解

思考

观察

带领

学生

分析

55

60

65

例3

判断方程x2y24x6y30是否为圆的方程，

如果是，求出圆心的坐标和半径．

解1

将原方程左边配方，有

说明

x24x2222y26y323230，

强调

222即

(x2)(y3)4.

3)，半径为4的一个圆．

所以方程表示圆心为(2，

解2

与圆的一般方程相比较，知D4,E6,F3．故

引领

D2E24F16364(3)640，

所以方程为圆的一般方程，由

22DEDE4F2,3,4

讲解

222说明

知，圆心的坐标为(2,3)，半径为4．

【说明】

给出方程求圆心和半径时，经常通过配方法将圆的一般方

程化为圆的标准方程．解1是经常使用的方法．

*运用知识

强化练习

*巩固知识

典型例题

提问

1．判断方程x2y24x2y10是否表示圆．如果是，巡视

指出圆心和半径．

指导

2．已知圆的方程为x2y24x0，求圆心的坐标和半径．

3．已知圆的方程为x2y26y0，求圆心的坐标和半径．

*动脑思考

探索新知

观察圆的标准方程(xa)(yb)r和圆的一般方程22222介绍

xyDxEyF0，可以发现：这两个方程中分别含有三个字母系数a,b,r或D,E,F．确定了这三个字母系数，讲解

圆的方程也就确定了．因此，求圆的方程时，关键是确定字母说明

系数a,b,r（或D,E,F）的值．

*巩固知识

典型例题

例4

根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：

（1）

以点(2,5)为圆心，并且过点(3,7)；

（2）

设点A(4,3)、B(6,1)，以线段AB为直径；

（3）

经过点P(2,4)和点Q(0,2)，并且圆心在直线xy0上．

分析

根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数a、b、r，得到圆的标准方程．这是求圆的方程的常用

说明

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

方法．

解

⑴

由于点（−2，5）与点（3，−7）间的距离就是半径，所以半径为

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

强调

引领

讲解

说明

引领

思考

主动

求解

思考

通过例题进一步领会

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

r(32)(75)13, 故所求方程为

22(x2)2(y5)2169．

（2）

设所求圆的圆心为C，则C为线段AB的中点，即4631C,．半径为线段AB的长度的一半，即

2211r(46)2(31)2205, 22故所求圆的方程为

(x5)2(y1)25．

（3）

由于圆心在直线xy0上，故设圆心为C(x0,x0)，于是有

CPCQ，

即

(x02)2(x04)2(x00)2(x02)2，

解得

x02．

因此，圆心为(－2，2)．半径为

r(20)2(22)22，

故所求方程为

(x2)2(y2)24．

【想一想】

例4（3）是否还有其它解法？

【知识巩固】

例5

求经过三点O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)的圆的方程（图8-20）．

图8－20

解

设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，将

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

点Ｏ（0，0），A（1，1），B（4，2）的坐标分别代入方程，得

0202D0E0F0,

1212D1E1F0,

2242D4E2F0,即

F0,

DEF2,

4D2EF20,解得

D8，E6，F0．

故所求圆的一般方程为

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

讲解

说明

主动

求解

75

80

85

x2y28x6y0．

【试一试】

例5的解法中，如果设圆的方程为(xa)2(yb)2r2是否可以？比较一下哪种方法简单？

*运用知识

强化练习

1．求以点(4,1)为圆心，半径为1的圆的方程．

2．求经过直线x3y70与3x2y120的交点，圆心为C(1,1)的圆的方程．

3．求经过三点O(0,0)，M(1,0)，N(0,2)的圆的方程．

*理论升华

整体建构

思考并回答下面的问题：

圆的标准方程及一般方程？

结论

（1）方程(xa)(yb)r

叫做以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程．

（2）方程x2y2DxEyF0（其中）叫做圆的一般方程．其中D、E、F均为常数且DE4F0．

22

提问

巡视

指导

思考

求解

了解

学生

知识

掌握

得情

况

质疑

归纳强调

引导

提问

222

回答

回忆

反思

及时了解学生知识掌握情况

*归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测

检验

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

判断方程xy2x4y80是圆的方程吗？为什么？

*继续探索

活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题8.4

A组（必做）；8.4

B组（选做）

(3)实践调查：对任意二元二次方程，判断是否是圆的方程

【教师教学后记】

项目

22教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

巡视

指导

动手

求解

学生

学习

效果

88

90

说明

记录

分层次要求

反思点

学生是否真正理解有关知识；

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

学生是否参与有关活动；

学生的情感态度

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生是否积极思考；

思维是否有条理、灵活；

学生思维情况

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；

学生合作交流的情况

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生实践的情况

学生是否愿意开展实践；

第8章

直线和圆的方程（教案）

能否根据问题合理地进行实践；

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

第8章

直线和圆的方程（教案）