1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课一等奖

1

加深理解回归分析与独立性检验

一、回归分析

^^^1．回归直线方程y

＝b

x＋a

，其中：

n^i＝1n∑

xi－xyi－y∑xiyi－nx

y^^i＝1b

＝＝n，a

＝y－b

x. n222∑

xi－x∑xi－nx＝＝i1i1n^i＝1(注：b

＝∑xiyi－nx

y2∑xi－ni＝1nx2主要方便计算，其中(xi，yi)为样本数据，(x，y)为样本点的中心) 公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势．

公式联系：是进行残差分析的基础．

2．样本相关系数的具体计算公式：

nr＝i＝1ni＝1∑

xi－xyi－y2ni1

2∑

xi－x∑

yi－y＝ni＝1＝

22∑x2y2i－nx∑i－ny＝＝nni1i1∑xiyi－nx

y公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱．当r的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．规定当r>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关．

(2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关．

散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析

的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况．

相关系数r是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠．

3．我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：

n^R2＝1－i1n∑

yi－y

i＝22＝i12∑

y－y－∑

y－y

iii＝＝ni＝1i1n2n^i＝12∑

yi－y∑

yi－y2

n2用R来刻画回归的效果．对于已经获取的样本数据，R表达式中的∑

(y－y)为确定的i＝i122数．因此R越大，意味着残差平方和∑

(y－y

)越小，即模型的拟合效果越好；R越小，ii＝i12n^2残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示回归的效果越好．R2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R2大的回归模型．

二、独立性检验

(一)基础概念的梳理与理解

1．分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种．像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种．

2．两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的．

3．2×2列联表：列出的两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}的样本频数表称为2×2列联表(如下表).

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

(二)两个分类变量是否有关的粗略估计

等高条形图

ac由深、浅颜色的高度可见两种情况下的百分比；另一方面，数据要比小得多，因此，a＋bc＋d说明两分类变量X和Y有关系成立的可能性较大．

重点：等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况．

(三)独立性检验的基本思想

上面通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的．但是上面的分析给了我们一种重要的思想方法．

下面从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法．

1．基本思想与图形的联系

ac假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：≈⇒|ad－bc|＝0. a＋bc＋dnad－bc2构造随机变量K＝(其中n＝a＋b＋c＋d)(此公式如何记忆，其特点a＋bc＋da＋cb＋d2是什么？结合2×2列联表理解)．

显然所构造的随机变量与|ad－bc|的大小具有一致性．

2．独立性检验的思想方法

如果K2的观察值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果K2的观察值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的．其思想方法类似于数学上的反证法．

3．得到K2的观测值k常与以下几个临界值加以比较：

如果k>2.706，就有90%的把握认为两分类变量X和Y有关系；如果k>3.841，就有95%的把握认为两分类变量X和Y有关系；如果k>6.635，就有99%的把握认为两分类变量X和Y有关系；如果k>10.828，就有99.9%的把握认为两分类变量X和Y有关；如果k≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量X和Y有关系．

像这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．

2

回归分析题型归纳

相关关系是自然中普遍存在的关系，高考中对具有线性相关关系的考查已成为趋势，有的考查概念性质，更多是考查线性回归直线方程的实际应用，下面精选几例题型供赏析．

一、考查相关系数

例1

变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U

与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(

) A．r2

C．r2<0

B．0

D．r2＝r1

解析

方法一

由散点图可以得出结论：

变量X与Y正相关；变量U与V负相关．故r1>0，r2<0，因此选C. 方法二

由线性相关系数公式知

i＝1

xi－xyi－y. 2nr＝i＝1

xi－xni＝1

yi－y2n∵X＝U＝11.72，Y＝V＝3，

Xi＝Ui(i＝1,2，…，5)，Yi＝V6－i(i＝1,2，…，5)，

∴

i＝1

Xi－X

552i＝1

Yi－Y2

55＝

i＝1

Ui－U

2i＝1

Vi－V2. 令

(Xi－X)(Yi－Y)＝A

i＝15＝(10－X)(1－Y)＋(11.3－X)(2－Y)＋(11.8－X)·(3－Y)＋(12.5－X)(4－Y)＋(13－X)(5－Y)，

i＝1

(Ui－U)(Vi－V)＝B

5＝(10－U)(5－V)＋(11.3－U)(4－V)＋(11.8－U)·(3－V)＋(12.5－U)(2－V)＋(13－U)(1－V)，

∴A>0，B<0，∴r1>0，r2<0. 答案

C 二、考查线性回归直线的性质

例2

设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是(

) A．x和y的相关系数为直线l的斜率

B．x和y的相关系数在0到1之间

C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D．直线l过点(x，y)

解析

因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误．C中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据线性回归方程一定经过样本中心点可知D正确．所以选D. 答案

D 三、考查线性回归直线方程的应用

例3

为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：

时间x 命中率y 1

0.4

2

0.5

3

0.6

4

0.6

5 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．

解析

小李这5天的平均投篮命中率

0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4y＝＝0.5，

5可求得小李这5天的平均打篮球时间x＝3. ^^^根据表中数据可求得b

＝0.01，a

＝0.47，故线性回归方程为y

＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53. 答案

0.5

0.53

3

巧解非线性回归问题

如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利

用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想．

一、案例分析

例

一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：

温度

x/℃

某项

指标y

2

5.790

3

6.810

4

8.199

5

10.001

6

12.190

7

14.790

8

17.801 试建立某项指标y关于温度x的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果．

分析

根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型．

解

画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y＝Bx2＋A的周围．

令X＝x2，则变换后的样本点应该分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周围．

由已知数据可得变换后的样本数据表：

X 某项

指标y

^4

5.790

9

6.810

16

8.199

25

10.001

36

12.190

49

14.790

64

17.801 计算得到线性回归方程为y

＝0.199 94X＋4.999 03. 用x替换X，得某项指标y关于温度x的回归方程y

＝0.199 94x2＋4.999 03. 计算得R2≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．

点评

本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决．

二、知识拓展

常见的非线性函数转换方法：

2^

(1)幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值) 解决方案：对y＝axm两边取常用对数，有lg y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为u＝mv＋lg a，其中m，lg a为常数，该式表示u，v的线性函数．

(2)指数型函数y＝c·ax(a，c>0，且a≠1) 解决方案：对y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，则原式可变为u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c为常数，该式表示u，x的线性函数．与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg y代替了y. k(3)反比例函数y＝(k>0) x1解决方案：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数．

x(4)二次函数y＝ax2＋c

解决方案：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数．

(5)对数型函数y＝clogax

解决方案：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数．

4

判断两个变量线性相关的方法

一、由散点图判断两个变量线性相关

例1

“阿曼德匹萨”是一个制作和外卖意大利匹萨的餐饮连锁店，其主要客户群是在校大学生，为研究各店铺某季度的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系，随机抽取十个分店的样本，得到数据如下：

店铺编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

区内大学生数x(万人)

0.2

0.6

0.8

0.8

1.2

1.6

2

2

2.2

2.6

某季度销售额y(万元) 5.8 10.5 8.8 11.8 11.7 13.7 15.7 16.9 14.9 20.2

(1)画出散点图，并判断各店铺该季度的销售额y与店铺附近地区大学生人数x是否具有线性相关关系？

(2)若具有线性相关关系，求回归直线方程，然后再进一步根据回归直线方程预测一个区内大学生有1万人的店铺的季度销售额．

分析

先根据表中的数据画出散点图，然后判断是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再根据所给的数据求出线性回归方程，最后进行预测．

解

(1)散点图如图所示．

由散点图可以看出：这些点分布在一条直线的附近．所以各店铺该季度的销售额y与店铺附近地区大学生人数x具有线性相关关系．

(2)由表中数据可知x＝1.4，y^＝13，xi2－10i＝110x＝5.68，xiyi－10x

y＝28.4. i＝1210^28.4所以b

＝＝5，a＝13－5×1.4＝6. 5.68^因此回归直线方程是y＝5x＋6. ^当x＝1时，y＝5×1＋6＝11，即区内大学生有1万人的店铺的季度销售额约为11万元．

评注

本题根据线性回归方程进行预测，这要求同学们具备一定的数据分析、推测能力．通过学习，体会数据收集、分析在现实生活中的作用．

二、由样本相关系数判断两个变量线性相关

例2

2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震，为了抗震救灾，某工厂需大批生产帐篷支援灾区，工厂为了规定工时定额，需要确定加工帐篷所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：

帐篷数

x(顶)

加工时间

Y(小时)

10

62

20

68

30

75

40

81

50

89

60

95

70

102

80

108

90

115

100

122 试问：(1)对x与Y进行相关性检验；

(2)如果x与Y具有线性相关关系，求出回归直线方程．

分析

可通过计算相关系数判断Y与x是否具有相关关系，如果Y与x具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．

解

(1)①作统计假设：x与Y不具有线性相关关系．

②由小概率0.05与n－2＝8在附表中查得r0.05＝0.632. ③根据已知数据，可求得x＝55，y＝91.7，x2i＝38 500，

i＝110102yi＝87 777，xiyi＝55 950. ＝i1i＝110因此，r＝≈0.999 8.

38 500－10×552×87 777－10×91.7255 950－10×55×91.7④|r|>0.632，即|r|>r0.05从而有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的．

^55 950－10×55×91.7(2)设所求的回归直线方程为y

＝b

x＋a

，则有b

＝≈0.668，a

＝y－38 500－10×552^^^^^b

x＝54.96. ^因此，所求的回归直线方程是y

＝0.668x＋54.96. 评注

求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量大，需要细心、谨慎地计算．

5

独立性检验思想的应用

在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题．在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验思想做出合理的推断．

所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，先利用等高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系，再利用公式计算K2的值，比较与临界值的大小关系来判定事件X与Y是否有关的问题．其基本步骤如下：

(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量；

(2)根据样本数据制作列联表；

(3)通过图形直观判断两个分类变量是否相关；

(4)计算统计量K2，并查表分析．当K2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系．

下面举例说明独立性检验思想在解决实际问题中的应用．

例

为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56人，患慢性气管炎且吸烟的有43人，未患慢性气管炎但吸烟的有162人．根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大程度上有关系？

解

根据所给样本数据得到如下2×2列联表：

吸烟

不吸烟

总计

由列联表可以粗略估计出：在吸烟者中，有20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大．

作出相应的等高条形图，如图所示．比较图中两个深色条的高可以发现在吸烟样本中患慢性气管炎的频率要高一些，可以在某种程度上认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．

患慢性气管炎

43

13

56

未患慢性气管炎

162

121

283

总计

205 134 339

根据列联表中的数据，得到

339×43×121－13×1622K＝≈7.469>6.635. 56×283×205×1342而P(K2≥6.635)≈0.010. 所以有99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．

点评

对列联表的比例及等高条形图进行分析，可粗略地判断两个分类变量是否有关系．通过计算检验随机变量K2，可以比较精确地给出这种判断的可靠程度．先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略．