复习参考题教学设计案例

离散型随机变量的分布列与期望（一）

圆玄中学：崔颖芳

考纲要求

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性. (2)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. 考题统计

2016（Ⅰ卷）理19；

2017（Ⅲ卷）理18；

2018（Ⅰ卷）理20 命题规律与趋势

离散型随机变量分布列属于中档偏上的题目，但是从学生的实际答题情况来看，得分都不高，由此可以看到此类型问题难点在于综合其他知识点与审题的准确性。主要考察：（1）查离散型随机变量的分布列，数学期望，均值与方差；（2）结合函数思想求最值；（3）根据计算结果作出决策。

学习目标：

1、

会求离散型随机变量中相互独立事件，互斥事件的概率。

2、

提高求数学期望值的能力，尝试用分类思想和函数思想来分析得到期望最值。

3、

规范答题格式，训练写在得分点的能力。

4、

加强学生计算数据的能力。

重点：判断并写出分布列

难点：数据分析及得出数学期望．

方法：

启发，讲评，练习相结合．

一、学前案：

知识回顾：

1、离散型随机变量：

（1）所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

（2）设X为离散型随机变量，它的一切可能取值为X1，X2，……，Xi，……,Xn，X取每一个Xi的概率P｛X= X i｝=Pi ，则称其为X的概率分布列，简称为X的分布列。离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：(1)Pi≥0， i=1,2,…,n; (2) =1. (3)离散型随机变量的期望为：xi。

合作探究：

1、袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球(一人取球后马上放回，第二个人开始取球)，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X，(1)求甲取得黄球的概率；甲取得白球的概率；(2)求甲取得黄球同时乙取得白球的概率；(3) 求X的分布列与期望。

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注意事项：1、计算独立事件互斥事件概率时，注意列出所有情况也可以用排列组合计算出全部情况。2、根据分布列计算出数学期望值。

二、课堂案

精讲点拨：

1、（2016全国1卷，理数19节选）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰

机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元

在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元

现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

Ⅰ求X的分布列；

注意事项：求分布列中某个基本事件概率时，要详细列出所有情况，做到不重不漏。

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典例探究

2、(2017全国卷3,理数18改编)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间有关如果最高气温，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

求六月份这种酸奶一天的需求量单位：瓶的分布列；

单位：元，当六月份这种酸奶一天的进货量设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位：瓶满足200 ≤

n<300,当n为多少时，Y的数学期望达到最大值？

注意事项：1、求某量的期望值时，最好先写出它的分布列，方便求数学期望；2、求期望的最大值时，考虑到分类思想和函数思想。

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变式练习：

3、（2019广州一模理数19）广州某商场以分期付款方式销售某种商品，依据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为：

ξ

P 2 0.4 3 a 4 b 其中0

求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择2期付款的概率；

(2)

商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元。商场销售两件商品所获得的利润记为X（单位：元）。

（i）求X的分布列；

（ii）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值。

归纳小结：

求离散型随机变量的分布列与期望时注意：

1、离散型随机变量求分布列注意相互独立事件、互斥事件的相关性质，特别是不同独立事件一起发生时的概率计算不要忘记排列组合；2、求数学期望最好列出相关分布列，利用函数思想，有时处理数据需要分类讨论。

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三、课后案

课堂反馈

4、某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望

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拓展提升

5、某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

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