2.基本不等式教学实录与评析

《基本不等式及其应用》教学设计

建始县第一中学

张妮

教材：人教A版《数学》必修5 课题：§3.4 基本不等式及其应用

授课对象：高三年级学生

一轮复习用

一、教学目标：

1.知识与技能：



能准确提炼出基本不等式的模型，并理解模型中的取等条件；



让学生探究用基本不等式解决综合问题；



通过利用基本不等式处理高考题，去培养学生对数学的热爱，对高考题型的把握。

2.过程与方法：



经历基本不等式的几何证明与简单验证过程，掌握这一研究数学问题的方法；



通过基本不等式模型的建立，渗透用数学建模的方法研究问题的数学思想。

3.情感态度与价值观：



通过基本不等式模型的建立，体会数学建模思想，鼓励学生用数学观点进行类比，归纳，抽象。学会用联系的观点看数学；



通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯；



通过对高考题型的处理，激发学生的探究精神和严谨的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重难点：

重点：提炼基本不等式模型，并用于解决函数的最值问题；

难点：基本不等式等号成立条件的考察；利用基本不等式解决综合问题。

三、教学方法：

教法：本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导，讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从高考题出发，放手让学生探究思索，质疑争论。以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

学法：在利用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应通过鼓励学生之间的相互质疑让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件即一正、二定、三相等在解决最值问题的作用。

四、教具准备：

几何画板、课件.

五、教学过程：

教

学

过

程

教学环节

教学内容

回顾基本不等式定义，提炼基本不等式模型：

问题：你能用如下图形得出OD与CD大小的关系吗？

如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.

①如何用a, b表示OD?②如何用a, b表示CD? ③OD与CD的大小关系怎样?

光从文字叙述中，我们并不容易得到结果，但有同学猜是OD ≥ CD，可是口说无凭，眼见为实。下面我们来看一个动态的演示。

播放演示动态形成的几何画板课件。

教师活动

学生活动

设计意图

⑴回顾旧知，模型提出

教师带领学生回忆基本不等式的表达式，引导学生通过课本思考题，进行基本不等式模型的探究，并用几何画板课件进行演示。

学生思考并回答问题，提出猜想，观看画板演示。

由课本思考题得到启发，利用几何图形证明代数式，由圆的半径和弦长出发，让学生自然提出半径不小于半弦长的猜想，符合学生的认知规律，且帮助学生认识到几何与代数的统一性与数学知识之间的联系。

从演示中，我们发现半径长始终不小于半弦长，那么我们就可以把以上关系进行提炼，得到⑵提炼模型，归纳定义

教师带领学生提炼基本模型，引导学生发现基本不等式模型使用中漏掉的重要条件。

引导学生归纳出基学生思考，本不等式并发现整的使用条理基本不件，而不是等式的使直接给出，用条件。

这样可以强化学生对知识的abab。

2问题：这个模型是否就此完整了呢？需不需要其他的条件？

通过学生回答，强调对于两个正数适用，以及取等条件。

问题：刚刚我们在演示中看到，两

个正数的算数平均值不小于几何平均值，那么在这里，等号是关键，何时取等号？

有学生提炼回答后得出模型。

因此，基本不等式的准确模型应该是：

理解与记忆。

此题题干的条件x>0,a>0是教师板书利用基本例题，提问学生思考，不等式求学生，“引回答解题最值的前a导”学生犯思路，在教例1.2013四川已知函数f(x)4x(x0,a0)提。最后的x错。在整理师引导下在x3处取得最小值，则a的值为？

取等条件完毕后强得出正确

学生容易调“一正、答案，并整 易错点：在书写上不注意规范。

遗忘，所二定、三相理解题步以，想通过等”条件的骤。

此题训练使用。

学生的规范答题意识。

提出问题：

①如果是x<0，咱们该如何处理呢？

②如果是积不定，咱们又该如何处理呢？

③如果取不了等号，咱们又该如何处理呢？

以下面两个变式题和一个拓展题为主线，引导学生探究质疑发现规律。

⑶高考真题，初试模型

⑷变式训练，强化模型

教师组织并引导学生进行探究，提问学生，选取部分做题欠妥当的学生上台展36变式(1)f(x)4x(x0),求f(x)的示，并激发x台下同学最大值.进行质疑，36变式(2)f(x)4x(x5),求f(x)的营造一种x1严谨而又最小值.宽松的治

学氛围。

转变老师板书，学生记录，强调“一正二学生思考、定三相等”讨论并探条件的使究，积极发用这种教言并在讲法，让学生台上大胆“碰壁”，展示和质同时让学疑。

生“解决”，更能强化模型的使用条件。

以上我们只处理了利用基本不等式求最值的使用，大家看看以下几道高考题，与基本不等式有什么联系呢？

xy教师提出例2.2017山东若直线1ab问题，引导(a0,b0)过点（1，2），则2ab的最小值是？⑸高考真题

举一反三

学生独立处理例题，学生思考例3.2014全国卷已知a,b,c分别为找出考题并回答。

ABC的三个内角A,B,C的对边，a2,且与基本不等式关联（2b）(sinAsinB)(cb)sinC,则的考点。

ABC面积的最大值是？

这节课你学到了什么，请谈谈你的收获。

（1）基本不等式模型的提炼，体会到几何与代数的联系

（2）基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等。”

（3）基本不等式在求最值方面上的应用。

（4）基本不等式在三角函数，解析几何等方面的应用。

通过对高考题型的处理，引导学生利用基本不等式解决综合问题。提升学生的综合能力。

⑹课堂小结

教师提问学生并补充，小结课堂。

学生谈本节课的收获，认真思考。

让学生进行总结，既体现学生在课堂的主体地位，又能帮助教师检查教学效果，以便进行反思与改进。

六、板书设计：

七、教学反思：

“基本不等式及其应用”是人教版普通高中课程实验标准教科书必修五第三章“不等式”第四节第二课时的内容，本节课是基于学生已经经历了高一阶段的新课学习后组织的高三一轮复习课程，旨在突出基本不等式应用的综合性，普适性。希望通过此次课程，能使学生在做题规范和技巧上有所收获。

在本次课程的生成过程中，出现了大大小小的问题，题目选择的难易度的调节，学生面对镜头的紧张等都是在课堂上时时出现的，但我不认为这是不完美的地方，错误或者失误才是课堂的常态，但是老师要学会把握住课堂的整体节奏，化学生的失误与不严谨为课堂教学最生动的教材，让学生敢于暴露问题，勇于暴露问题，从而让课堂更加深刻。让学生不仅在课堂上学到知识，更在课堂外还有心得。