2.基本不等式教案设计（一等奖）

基本不等式求最值的教学设计

一、教材分析

（一）本节教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书数学人教版·必修5，选修4-5“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材；同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．

（二）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为三个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理（均值不等式）及它的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些最值问题，第三节讲基本不等式解决实际应用问题．本节课为第二课时。为了讲好这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

（三）教学目标

1.知识目标：

（1）会利用“均值不等式”解决某些最值问题；

（2）掌握获得“均值不等式”条件的常用方法。

2.能力目标：

（1）学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，提高学生的抽象概括能力。

（2）通过学生的口头表述和书面表达提高学生的数学表达和数学交流的能力。

（3）通过例题、变式练习的解决树立学生的化归思想；

3.德育目标：通过具体问题的解决，增强科学严谨的治学态度，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功，增强学习数学的自信心。

（四）教学重点、难点、关键

重点：用均值不等式求解最值问题的思路和基本方法。

难点：均值不等式的使用条件，合理地应用均值不等式。

关键：理解均值不等式的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键。

二、学情分析

我所教的两个班都是理科重点班，学生的理解能力，运算能力，思维能力等方面相对好点；学生有学好数学的自信心，有一定的学习积极性。

三、教法分析

（一）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标，采用启发探究式学习。其中，在探索结论时，采用发现法；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行。

（二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机和投影辅导教学。

四、教学过程设计

（一）课前知识

全通关（学生默写以下内容）

a＋b1．基本不等式ab≤2

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式

ba(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)a＋b≥2(a，b同号)；

22a＋b2a＋b2a＋b(a，b∈R)；(4)≤(3)ab≤2(a，b∈R)；

22a＋b2ab(5)≤ab≤2≤ a＋ba2＋b22(a＞0，b＞0)．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)．

注：此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.

（设计意图：通过对上节课所学知识的回顾，让学生加深对基本不等式的理解，为下面的求最值做铺垫。）

（二）课堂题型

全突破

►考法1

配凑法求最值——“和定”，“积定”

【例1】

(1)设0＜x＜2，则函数y＝x（4－2x）的最大值为(

) 2A．2

B.2

C.3

D.2 （设计意图：让学生明白定值是“凑”出来的，这个题在老师的引导下教会学生怎么样把和凑出一个定值。）

51(2)若x＜4，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

4x－5（设计意图：让学生在尝试的过程中间发现，求最值的条件一正不满足了。然后老师引导学生创造条件让一正满足，且引导学生怎样把乘积凑成定值。）

规律方法：

（1）利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. （2）配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

►考法2

倒数和的结构—“1”的代换法求最值

11【例2】(1)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________．

11

变式1：(变条件)将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则a＋b的最小值为________．

11变式2：(变设问)保持本例条件不变，则1＋a1＋b的最小值为_______．

ba（设计意图：让学生体会常数1的代换依据，目的是为了产生xy类型的最值问题，ab使其积为定值）

（2）已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值

（设计意图：让学生体会如何才能凑出常数1，进而再进行代换）

►考法3

和积共存—整体消元法

例3、已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

（设计意图：与例2加以对比，以便与加深两种题型的印象，在解题时方可选折恰当的方法）

►考法4

两次使用基本不等式求最值

例4、已知a＞b＞0，那么a21的最小值为____．

bab（设计意图：用两条途径引导学生分析，一是体会添项技巧，一是体会消元法的应用，目的升华对和定，积定的理解）

►考法5

统一变量——值域法

例5、若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是______．

（设计意图：让学生理解新旧方法各自的优越性，以便于在需要时好灵活选折相应方法）

（三）课堂巩固

全落实

（设计意图：一是让学生自我检验本节课对新知识的掌握情况，二是课后强化）

y21,求x1y2的最大值 1x0,x2a2a,bR,22b1,则ab的最大值为23a,b,c均为正实数，a2b3c1,求4a,b均为正实数，5xy2x74x212ab4ab1的最小值abb3cab，求ab的最小值y的最小值为26a0,b0,abab3,求a2b的最小值y2,(x1),则xy2xy1,求2xy的最大值11的最小值为aba(ab)8ab0，则a2（四）课堂小结

1、利用基本不等式求最值的常见方法

（1）配凑法

（2）常数代换

（3）整体消元

（4）代入消元——值域法

（5）多次使用基本不等式

2、数学思想方法

（1）转化与化归的思想

（2）函数思想

（五）课后作业

校本教材P141 （六）板书设计：

典例解析

例1 例2 例3 例4 例5

题型方法归纳

配凑法

1的代换

整体消元

两次使用基本不等式

代入消元函数法