2.基本不等式优质课教案内容

1.2

基本不等式

一、教学目标

（一）核心素养

通过学习重要不等式a2b22ab推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法．

（二）学习目标

1.学会推导并掌握均值不等式定理；

2.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式. 3．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题. （三）学习重点

均值不等式定理的证明及应用. （四）学习难点

等号成立的条件及解题中的转化技巧.

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空：

①a2b2

2ab，当且仅当

时，等号成立，其中a,b

；

ab

ab，当且仅当

时，等号成立，其中a,b

；

2abc③

，当且仅当

时，等号成立，其中a,b,c

；

3②（2）想一想：（1）中三个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？

答：①中等号成立时，a,bR；②③中等号成立时a,b(0,).应用于求函数的最值. 2．预习自测

（1）两个正数的算术平均数

它们的几何平均数. A．大于

B．小于

C．不大于

D．不小于

【知识点】基本不等式

【解答过程】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

【思路点拨】掌握基本不等式

【答案】D．

（2）若xy6，则xy的最大值为（

）

A．6

B．7

C．8

D．9

【知识点】基本不等式

【解题过程】由xy(xy26)，得xy()2，即xy9，当且仅当xy3时，等式成立. 22【思路点拨】注意使用基本不等式时的条件

【答案】D．

（3）函数ysinxA．22

2,x(0,]的最小值为（

）

sinx2B．3

C．4

D．5

【知识点】基本不等式

【解题过程】ysinxsinx[0,1]，当x22即sinx2取等号，不满足22，当且仅当sinxsinxsinx2时，ymin3. 【思路点拨】注意使用基本不等式时的取得条件

【答案】B （4）已知三个正数a,b,c满足abc27，则a2b4c的最小值为（

）

A．21

B．18

C．15

D．12

【知识点】三个正数的均值不等式. 【解题过程】由a6,b3,ca2b4c38abc，a2b4c3321618，当且仅当a2b4c即33取等号. 2【思路点拨】

【答案】B (二)课堂设计

1.知识回顾

（1）比较两个实数的大小可用作差比较法. （2）abab0;abab0;abab0

（3）运用不等式的基本性质时要注意两边同乘一个数时的正负. 2．问题探究

探究一

认识基本不等式

●活动①

重要不等式

定理1 如果a,bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.

证明：由作差比较法得，(a2b2)2ab(ab)20，且当且仅当ab时，等式成立. 几何解释：

如果把实数a,b作为线段长度，那么可以这样ab解释定理1（以为例）

如图，在正方形ABCD中，ABa；在正方形CEFG中，EFb.那么

S正方形ABCDS正方形CEFGa2b2. 矩形BCGH,JCDI的长均为a，宽均为b，它们面积之和为

S矩形BCGHS正方形JCDI2ab

以上两个矩形的公共部分为以边长为b的正方形，其面积为b2，所以上述两个矩形面积之和2ab就等于图中阴影部分的面积，它不大于两个正方形的面积之和，

即a2b22ab，当且仅当ab时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于两个正方形面积之和，即a2b22ab. 【设计意图】认识重要不等式，回顾作差比较法．

●活动②

基本不等式

将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式：

abab，当且仅当ab时，等号成立. 2ab证明：因为ab(a)2(b)22ab2ab，所以当且仅当ab，即abab，2定理2（基本不等式）

如果a,b0，那么时，等号成立. 几何解释：

如图，CD是RtABC中斜边AB上的高，OC是斜边AB上的中线，ADa,BDb.于是，

11AB(ab).由RtDCA∽RtDCB，得CD2ADBD，即CDab，易知，22abOCCD，且当且仅当O,D重合时OCCD，所以ab，当且仅当ab时，等号成立. 2OC综上所述，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高. 如果a,b都是正数，我们就称ab为a,b的算术平均数，ab为a,b的几何平均数.于是，基本2不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数. 【设计意图】通过对基本不等式的证明，加深对基本不等式的理解，突破重点．

●活动③

了解基本不等式的使用步骤

基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：

“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；

“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；

“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最值. (ab)2ab由基本不等式：

ab，得ab2ab,ab42（1）当积为定值时，和有最小值，为2ab；

(ab)2（2）当和为定值时，积有最大值，为. 4

【设计意图】通过对基本不等式的分析，了解基本不等式的用法. 探究二

三个正数的均值不等式

●活动①

认识三个正数的均值性质

类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正数a,b,c，可能有：如果a,b,cR，那么abc3abc，当且仅当abc时，等号成立. 3如何证明这个猜想呢？仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：

已知a,b,cR，那么a3b3c33abc，当且仅当abc时，等号成立. 证明：因为a3b3c33abc(ab)33a2b3ab2c33abc

(ab)3c33a2b3ab23abc(abc)((ab)2(ab)cc2)3ab(abc)

(abc)((ab)2(ab)cc23ab)(abc)(a2b2c2abacbc)

1(abc)((ab)2(bc)2(ac)2)0

2所以a3b3c33abc，当且仅当abc时，等号成立. 对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到

定理3

如果a,b,cR，那么abc3abc，当且仅当abc时，等号成立. 3这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 事实上，基本不等式可以推广到一般的情形，对于n个正数a1,a2,小于它们的几何平均数，即立. 【设计意图】通过对三个正数均值不等式的认识，为后面的运用做好铺垫．

探究三

均值不等式的应用

●活动①

利用基本不等式求最值

1例1

求函数y2x(x0)的最小值. xa1a2nanna1a2,an，它们的算术平均数不an时，等号成an，当且仅当a1a2【知识点】基本不等式

【解题过程】

解：y2x112122x22，当且仅当2x，即x时取等号，所以函数xx2x

1y2x(x0)的最小值为22. x【思路点拨】掌握利用基本不等式求函数最值

【答案】22

1同类训练

求函数y2x(x0)的最大值. x【知识点】基本不等式

【解题过程】

解：y2x11121((2x)())22x()22，当且仅当2x，即x时xxx2x1取等号，所以函数y2x(x0)的最大值为22. x【思路点拨】注意使用基本不等式求函数最值时的条件

【答案】22

1同类训练

求函数y2x(x1)的最小值. x【知识点】基本不等式

【数学思想】数形结合思想

1【解题过程】由双勾函数y2x(x1)的图像可知，函数在[1,)上单调递增，所以x1y2x(x1)的最小值为3. x【思路点拨】由例1可知，使用基本不等式求此函数最值时，无法取等号，可利用双勾函数的图像求最值. 【答案】3 例2

求函数y4x1(x1)的最小值. x1【知识点】基本不等式，换元法

【解题过程】

法1：（配凑法）y4x时取等号. 111法2：（换元法）令x1t(t0)，则y4(t1)4t42448，当且仅当4t，ttt1113当且仅当4(x1)，即x4(x1)42448，x1x1x12

13即t,x时取等号. 22【思路点拨】配凑法与换元法实质相同，都要注意使用基本不等式的条件

【答案】8 4x24x9同类训练

求函数y(x1)的最小值. x1【知识点】基本不等式，换元法

4(t1)24(t1)94t24t99【解题过程】令x1t(t0)，则y4t4

ttt93123648，当且仅当4t，即t,x时取等号. t22【思路点拨】与例2为同类型题目，可使用换元法，利用基本不等式. 【答案】8 同类训练

求函数yx25x42的最小值. 【知识点】基本不等式，换元法

【数学思想】数形结合思想

t211【解题过程】令x4t(t2)，则y当且仅当t1时取等号，不满足t2，t2，tt2由双勾函数图像可知，函数在[2,)单调递增，所以函数的最小值为5. 2【思路点拨】当类似基本不等式的类型不能取等号时，可考虑利用双勾函数图像. 【答案】2 【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用基本不等式求函数的最值．

●活动②

求含双变量的代数式的最值

例3

若2x3y6(x0,y0)，求以下代数式的最值: 21①xy的最大值；②的最小值

x3y【知识点】基本不等式

【解题过程】①2x3y626xy，所以xy33,当且仅当2x3y3，即x,y1时取等22

号；②2121112x6y132x6y，即()(2x3y)(5)(524),当且仅当x3yx3y663yx623yx2时取等号. 3x2,y【思路点拨】注意利用基本不等式求代数式的最值的方法

33

②

22211同类训练

已知m,nR,，求m2n的最小值. mn2【答案】①【知识点】基本不等式

【解题过程】m2n(m2n)(即m8,n4时取等号. 【思路点拨】掌握“1”的代换的应用

【答案】16 例4

已知x24y2xy【知识点】基本不等式

33，得(x2y)25xy，

3232355x2y2331所以(x2y)2，所以x2y，当且仅当x2y()，即(x2y)232222832211x,y时取等号. 483(x0,y0)，求x2y的最大值. 32214nm4nm)22(4)2(424)16，当且仅当，mnmnmn【解题过程】由x24y2xy【思路点拨】在“积”与“和”的混合关系中，要明确保留和变换的分别是哪一部分

【答案】1

2同类训练

已知x0,y0,x2y2xy8，求x2y的最小值. 【知识点】基本不等式

(x2y)2【解题过程】因为x2y2xy8，所以x2y8(x2y)，

4所以(x2y)24(x2y)320，即(x2y8)(x2y4)0，因为x0,y0，

所以x2y4，当且仅当x2y，即x2,y1时取等号. 【思路点拨】掌握利用基本不等式求“积”与“和”的最值.

【答案】4 【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用基本不等式求含双变量的代数式的最值．

●活动③

三个正数的均值不等式的应用

4例5

求函数y2x2(x0)最小值. x【知识点】三个正数的均值不等式

【解题过程】y2x22223386，当且仅当2x2,即x1时取等号. xxx【思路点拨】掌握利用三个三个正数的均值不等式求最值

【答案】6 同类训练

把一块边长是3的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？. 【知识点】三个正数均值不等式

【解题过程】

解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则

1132x32x4x3(32x)(32x)4x()2

4431当且仅当32x4x，即x时取等号. 2V(32x)2x【思路点拨】掌握利用三个正数的均值不等式解决实际问题

【答案】当切去的正方形边长是1时，才能使盒子的容积最大. 2【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用三个正数的均值不等式求代数式的最值．

3. 课堂总结

知识梳理

（1）两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．

（2）运用基本不等式求最值时要注意：一正、二定、三相等．

（3）利用三个正数的均值不等式求最值时要注意取等条件．

重难点归纳

（1）正确理解基本不等式的意义．

（2）灵活应用均值不等式求代数式的最值．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1．下列各式中，最小值等于2的是(

) x25xy1A.

B.C．

D．2x2x

tan

tanyxx24【知识点】基本不等式

【解题过程】因为2x0,2x0，所以2x2x22x2x=2.当且仅当2x2x，即x0时，等号成立．

【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】D 2．设x,yR且xy5，则3x3y的最小值是(

) A．10

B．63

C．46

D．183

【知识点】基本不等式

【解题过程】3x3y23xy235183，当且仅当xy【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】D. 5时，等号成立．

2143．设x,y为正数，则(xy)()的最小值为(

) xyA．6

B．9

C．12

D．15 【知识点】基本不等式

14y4xy4x【解题过程】x,y为正数，(xy)()55249，当且仅当，即y2xxyxyxy时等号成立. 【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】B xy4．若直线1(a0,b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于(

) abA．2

B．3

C．4

D．5 【知识点】基本不等式. xy11【解题过程】因为直线1(a0,b0)过点(1,1)，所以1. abab

11ab所以ab(ab)()22214，当且仅当ab2时，等号成立．

abba【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】C 5．设x0，则函数y33x【知识点】基本不等式

【解题过程】y33x3111时，等号成立. 3(3x)323，当且仅当3x，即x3xxx1的最大值是________．

x【思路点拨】利用基本不等式求最值时，注意使用条件

【答案】323

6．设x,y,zR，且xyz6，则lgxlgylgz的取值范围是(

) A．(,lg6]

B．(,3lg2]

C．[lg6,)

D．[3lg2,)

【知识点】基本不等式；对数的运算. 【解题过程】因为lgxlgylgzlg(xyz)，而xyz(【思路点拨】利用基本不等式求最值

所以lgxlgylgzlg(xyz)lg233lg2，当且仅当xyz2时取等号．

【答案】B 能力型

师生共研

xyz3)23. 31a7．已知不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为(

) xyA．2

B．4

C．6

D．8 【知识点】基本不等式；恒成立

1a【解题过程】不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立，则

xy1a1ayax((xy)())min9，(xy)()a1a12a(a1)2，

xyxyxy2(a1)9，所以a2或a4(舍去)．即正实数a的最小值为4. 得到【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】B

8．若logxy2，则xy的最小值是(

) 3322333322A.

B.

C.

D.

2323【知识点】三个正数的均值不等式；对数的运算. 【解题过程】当logxy2，得x2y且x0,y0，

31xx1132x1xyx2233.当且仅当2，即x32时取等号．

x22x422x【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】A 探究型

多维突破

x2y29．定义运算“*”：x*y(x,yR,xy0)，当x0,y0时，x*y(2y)*x的最小xy值为________．

【知识点】基本不等式．

【数学思想】转化与化归思想

x2y2【解题过程】因为x*y(x,yR,xy0)，

xyx2y24y2x2x22y2xy1xy所以x*y(2y)*x22，当且仅当，即xy2yx2xy2yx22yxx2y时等号成立. 【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】2

2510.函数f(x)x(52x)(0x)的最大值是________．

2【知识点】三个正数的均值不等式

2114x52x52x3250【解题过程】f(x)x(52x)=4x(52x)(52x)(，

)443275当且仅当4x52x，即x时，等号成立．

6【思路点拨】利用基本不等式求最值

250【答案】27

自助餐

11.若不等式x2ax40对一切x(0,1]恒成立，则a的取值范围为（

）

A.[0,)

B.[4,)

C.[5,)

D.[4,4]

【知识点】基本不等式；恒成立问题．

【数学思想】转化与化归思想

【解题过程】由x2ax40，得ax444a(x),x(0,1]x5，所以，因为min，xxx当且仅当x1时取等号，所以a5，即a5．

【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】D 2112．直线2axby20(a,bR)平分圆x2y22x4y60，则的最小值是（

）

abA.1

B.5

C.42

D.3+22

【知识点】基本不等式；圆．

【解题过程】由题可得，直线2axby20(a,bR)过圆心(1,2)，所以ab1(a,bR)所2121a2ba2b以=()(ab)3，即a22,b21时等号322，当且仅当ababbaba成立. 【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】D 13．已知正数x、y满足xyxy3，则xy的取值范围是

. 【知识点】基本不等式. 【解题过程】xyxy32xy+3，所以xy3或xy1（舍去），即xy9，当且仅xy3时取等号. 【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】[9,)

14．已知函数f(x)2x，点P(a,b)在函数y________．

1(x0)的图象上，那么f(a)f(b)的最小值是x

【知识点】基本不等式

【解题过程】点P(a,b)在函数yf(a)f(b)=2ab22ab1(x0)的图象上，所以有ab1.因为a0,b0，所以x4，当且仅当ab1时，等号成立．

【思路点拨】利用基本不等式求最值

【答案】4 15．设x,y,z0且x3y4z6，则x2y3z的最大值是_________．

【知识点】n个正数的均值不等式. 【解题过程】因为6x3y4zxxyyy4z66x2y3z，所以x2y3z1，当且仅当22x1y4z，即x2,y1,z时取等号. 24【思路点拨】利用三个正数的均值不等式求最值

【答案】1 16.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2018年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2018年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)若计划2018年生产的化妆品正好能销售完，试将2018年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(2)该企业2018年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

【知识点】基本不等式

【数学思想】函数与方程思想

【解题过程】(1)由题意可设3xk2，将t0,x1代入，得k2.所以x3. t1t12)3，当销售x万件时，年销售收入为t1当年生产x万件时，年生产成本为32x332(31.5[32(321)3]t. t12

t298t35由题意，生产x万件化妆品正好销完，得年利润y(t0)．

2(t1)(1)298(1)3532(2)令t1(1)，则y50()5021642，

22当且仅当32=，即8，t7时等号成立. 2【思路点拨】利用基本不等式解决实际问题

t298t35【答案】（1）y(t0)；（2）当促销费定在7万元时，年利润最大. 2(t1)