2.基本不等式名师教学设计

给我五个系数，我将画出一头大象;给我六个系数，大象将会摇动尾巴。——柯西

§3.4 基本不等式

【学习目标】：

（1）学会推导并掌握基本不等式abab. 2（2）会用基本不等式解决实际问题和求最值问题. 【学习重难点】：

ab的推导和应用. 2ab 2. 难点：基本不等式ab的应用. 2 1. 重点：基本不等式ab一、预学案（阅读教材，完成知识体系） 问题探究——探究图形中的不等关系. 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2b22ab.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________ 结论：一般的，如果a,bR，我们有a2b22ab当且仅当ab时等号成立. 证明：（作差法）

小试身手：.判断下列不等式是否成立，请说明理由。

（1）t212t

（3）x21（2）x2y22xy1（4）x2x

122x1

二、探究案（知识迁移，深度理解） 数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

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给我五个系数，我将画出一头大象;给我六个系数，大象将会摇动尾巴。——柯西

1.如果a0,b0，用a,b代替a,b，上式可变为___________________ 基本不等式：一般地，对于 实数a，b，我们有 当且仅当 时等号成立. 证明：（作差法）

2.对基本不等式的进一步理解：

(1)代数解释：我们把 叫做正数a，b的算术平均数，把 叫做正数a，b的几何平均数. 所以基本不等式又可以用语言叙述为：两个正数的 不小于它们的 .

D（2）几何解释：探究：如图,AB是圆O的直径，C是AB上任一点，AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦

DE，连AD,BD,则DC=______,半径AO=________

OBA

C几何意义：____________________

3.基本不等式的变形式

E(1)ab2ab(2)ab(ab2)2

（a,bR，当且仅当ab时取等号）三、典型例题

（知识运用，深度理解） 题型一：基本不等式在实际问题中的应用

例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？

设菜园的长为x，宽为y，则xy ，篱笆的总长度表示为 ，

由abab

可得xy ，

2当等号成立时，所用篱笆最短，此时x___,y___.

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？

设菜园的长为x，宽为y，则xy ，篱笆的面积表示为 ，

abab可得xy ，

2当等号成立时，面积最大，此时x_____,y_____.

小结：两个实数a0,b0,

由若它们的积为定值P，则它们的和有最小值 ，当且仅当ab等号成立. 若它们的和为定值S，则它们的积有最大值 ，当且仅当ab等号成立. 简记为：积定和最大，和定积最小. 数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

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给我五个系数，我将画出一头大象;给我六个系数，大象将会摇动尾巴。——柯西

利用基本不等式求最值，需要满足的条件是：一正、二定、三相等.

练一练：

1、已知a，bR,且ab2，则（

）

A.

ab4

B.ab4

C.ab1

D.ab1

2、已知x,yR且xy4，则x+y与4的大小关系是_______

提升：基本不等式在求最值中的应用

已知x0，求函数yx4x的最小值.

变式1：已知x0，求函数yx4x最大值.

课堂小结

1、熟记两个不等式

2、利用基本不等式求最值时，须满足：一正、二定、三相等. 作业布置：课后练习P1001、2、3

趣味阅读：

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理加以证明.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABCD是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为(ba)2.于是便可得如下的式子：

4×ab2+(ba)2 = c2化简后便可得：a2 + b2= c2

数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

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