复习参考题教学实录及点评

排列、组合与二项式定理复习题

——高三二轮复习

一、

教学预设

1、教学要求⑴理解计数原理、并能对排列组合的灵活运用；

⑵掌握二项式定理与二项展开式系数的性质，会求特定项。

2、高考题型以小题选择题、填空题为主；

3、通过高考题让学生熟系常见题型及解题规律。

二、基础知识

㈠计数原理

1、加法：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

2、乘法;完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

㈡排列与组合

1、排列

⑴定义：是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列。

⑵公式：Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

n！阶乘式Am＝(n，m∈N*，m≤n) nn－m！An，A0n＝n！n＝1,0！＝1 2、组合

⑴定义：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

nn－1n－2…n－m＋1Amnm⑵公式：Cn＝m＝

Amm！阶乘形式Cmn＝①Cmn＝Cnn－m

n！

m！n－m！mm－1；

②Cmn＋1＝Cn＋Cn

3、解排列、组合综合问题时要注意以下几点：

(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题1

是排列问题．

(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．

⑶常见方法：优先法（以元素或位置为主）、列举法、间接法、捆绑法（注意松绑）、插空法、分堆原理等

㈢、二项式定理

n1n1nkkn 1、定理(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb－－二项式系数Ckn(k＝0,1，…，n) nkk通项Tk＋1＝Ckb

na－12nn2、二项式系数的和C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.

13524n1Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋C6. n＋…＝2－三、2018高考试题

1．【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法

2．【2018年理新课标I卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以2

用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 3．【甘肃省西北师大属中2018届冲刺诊断】第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ）

A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 详解：将人分成满足题意的组有与两种，分成时，有种分法；分成时，有种分法,由分类计数原理得，共有种不同的分法

，故选D．在此处键入公式。

点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．

4．【重庆市2018届三模】山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为

（ ）

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【解析】分析：先确定详解：因为两型号的种子种法，再对剩下3型号全排列，即得结果. 种，所以一共有,选B. 两型号的种子试种方法数为点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 5．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概3

型概率公式求概率. 详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 6．【2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为

A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 ，然后可得结果

详解：由题可得故选C. 7．【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．

，令,则，所以详解：二项式的展开式的通项公式为, 令得，故所求的常数项为

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. 项，(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 8．【安徽省宿州市2018届三模】详解：的展开式为：，当

的展开式中项的系数为__________．

，当，时，4 ，时，，据此可得：

展开式中项的系数为. 9．【2018年理数天津卷】在【答案】

的展开式中，的系数为____________. 点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

10．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（ ）

中所有项的系数之和为，A. 2 B. C. D.

【答案】B 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．

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