小结优质教案设计

高中数学人教A版选修2-3

第三章

统计案例小结

第三章

统计案例小结（第一课时

回归分析）

福建省南平第一中学 谢彬妹

一、教材内容分析

本节课内容是高中数学人教A版选修2—3第三章《统计案例》小结的第一课时回归分析，它是必修3中回归直线方程知识的加深和升华，也是对本章回归分析的一个小结. 在统计案例的教学中，应培养学生对数据的直观感觉，体会统计方法应用的广泛性，理解其方法中蕴涵的思想。避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。教学中应鼓励学生使用计算机及统计软件等现代技术手段来处理数据，解决实际问题。应尽量给学生提供充分的实践活动机会，要求学生在实践中体会统计思想。学习本节课后学生应该能够独立地分析简单的统计数据，能够独立完成简单的统计分析问题. 二、学情分析

在学习本节课之前，学生已经在高中数学人教A版必修3第二章中初步掌握了统计学的相关知识，特别是已经掌握了线性相关的回归直线方程的求法.高二学生的自主学习能力和探究能力都很强，特别在学习了本章《统计案例》的统计思想之后，初步掌握了统计分析的思想方法，这都为本节课教学奠定了坚实的基础.学生学习本节内容可能遇到的困难：（1）求回归直线方程时计算量大；（2）对相关系数r的理解；（3）对转化与化归的思想方法的运用.根据学生乐于亲身参与教学的特点本节课我采用了自主探究教学模式，并设置了五个教学环节：复习引入-知识反馈-题型分析-互动探究-课后思考，让学生充分参与课堂活动，在实践中体会统计思想，充分体现出学生的主体地位. 三、教学目标：

1、能利用相关系数r判断两个变量之间是否线性相关，并掌握回归直线方程的求法.懂得利用换元的思想将非线性回归转化为线性回归，理解相关指数R2的意义. 2、通过典例让学生体会统计的思想与方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，体会统计的应用价值.借助图形计算器，帮助学生理解线性回归分析，以及相关指数R2的意义. 3、培养学生通过学习能正确的解决有关的实际问题，在教学中，通过活动探究以及信息技术的融合，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生严谨的治学态度.发展学生数学建模、数学运算、数据分析、直观想象等核心素养.

四、教学重难点：

1、重点：利用相关系数r判断两个变量之间是否线性相关，并掌握回归直线方程的求法.利用换元的思想将非线性回归转化为线性回归，理解相关指数R2的意义. 2、难点：相关系数r的理解及非线性回归如何化为线性回归.

1

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五、教学过程设计：

教学环节

（一）

问题情境

《知识梳理》的微视频内容：

1.回归方程：方程ybxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2)，…师生互动

学生观看《知识梳理》的微视频

设计意图

通过《知识梳理》的微视频对知识点进行一个简单回顾，为本节课学习奠定基

(xn,yn)的回归ˆ是待定参数. ˆ，b方程，其中a

ˆ=b(xi-x)(yi-y)i=1n(xi=1n=xii=1ni=1ny2ii-nxy2

,

i-x)2x-nxˆxˆ=y-ba（x,y）注：回归直线过样本点的中心. 2、回归分析

（1）相关系数：适用于线性回归模型

n

复

习

引

入

n22n22nyxinxyii1i1

注：①|r|≤1；

rxyii1inxy ②|r|越接近于1（大于0.75），线性相关程度越强，

|r|越接近于0（小于0.25），线性相关程度越弱； ③当r>0时,表明两个变量正相关；

当r<0时,表明两个变量负相关. （2）相关指数：适用于任何回归模型 n残差平方和iR1

22(yi1ni1yi)2

总偏差平方和(yiy)2注：①R越接近于1，说明回归方程拟合的越好； R2越接近于0，说明回归方程拟合的越差。

②当线性回归模型时，Rr

（3）残差分析

①残差：eyiyi称为相应于点(xi,yi)的残差

②残差图：均匀地落在水平的带状区域中，说明选用模型比较合适；宽度越窄，精度越高；

③残差平方和：残差平方和越小，精度越高；

22

2

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（二）

(2)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有

预测价值.(

) 知

(3)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关

ˆ系，得线性回归方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为

识

2℃时，一定可卖出143杯热饮.(

)

(4)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，先由学生自

主完成《知反

其模型拟合的精度越高.(

) 2.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费识反馈》练

的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下习，然后从中挑选两份馈

表)，由最小二乘法求得回归方程yˆ＝0.67x＋54.9. 练习借助投

零件数x (个) 10 20 30 40 50 影仪进行展

示，根据学加工时间y (min) 62

75 81 89 自

生完成的情现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值况，对该部

为_________. 我

3.x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命分练习进行有针对性的

题的序号为___________. 讲解.

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) ˆa(1)直线yˆbxˆ至少经过点(x1,y1),(x2,y2)，…(xn,yn)中的一个点.(

)

通过知识反馈的练习对知识点进行巩固，加强学生对知识的应用能力，为本节课学习做铺垫.

检

测

（三）

①在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关指数ˆaˆbxˆ拟合为R12，用y2时的相关指数为R2，则2；

R12R2②x，y之间不能建立线性回归方程.

题型一

线性回归分析

例1、(2016年全国III改编)下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图. 题

型

分

类

老师与学生共同分析、

解答并板注：年份代码1～7分别对应年份2011～2017. 书. (1)

由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关

系，请用相关系数加以说明；

(2)

建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测

2019年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

7772参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，

y－y＝0.55，i

i＝1i＝1i＝1

3 通过例1让学生懂得如何利用所给数据及公式进行分析和处理，克服复杂数据计算的恐惧心理，并加深对相关系数r的理解.培养学生的数据分析处理能力.

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ntiyinty

i1相关系数r

nn22(tit)(yiy)

i1i1

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

n

tyntyii

ˆ

i1ˆybt，abn

2(tit)

i1

题型二

非线性回归分析

例2、（2015新课标1）某公司为确定下一年度投入某

种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）

对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千

元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi

（i=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到

下面的散点图及一些统计量的

例2（1）学生共同回答；例2（2）值．

学生先分小

组讨论并完xyw(xx)(ww)(xx)(yy)(ww)(yy)成，然后请

一位学生代456表上台展示6.6.289.8 1.6 1469 108.8 其解答过6 3 8 程，并对她的做法进行18表中wixi，w

=．

w讲解.再由8i1i老师补充说（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与明例2 的ycdx哪一个适宜作为年销售量y解题思路，关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判最后PPT展示完整的解断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y答过程.

关于x的回归方程；

附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，，(un,vn)，828288

通过合作互动的形式让学生懂得如何利用换元的思想将非线性回归转化为线性回归以及对所给数据较多时会选择正确的数据代入公式.培养学生独立地分析简单的统计数据，以及独立完成简单的统计分析问题的能力.发展学生的直观想象、数学建模、数学运算和数据分析等核心素养.

iiiiiii1i1i1i1其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为

ˆ

4 (uu)(vv)，ˆu．

ˆviii1n(uu)ii1n2

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深

度

剖

析

【思考题】：如何判断两个回归方程类型哪个拟合效果更好？

【活动探究】：请大家借助图形计算器，根据下列表中数据，建立y关于x的线性回归方程.

附：例2中近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，···，8）数据

x 38 39.43.6 9 y

504 530 45.9 47.9 49.8 51.8 55.9 556 566 575 585 592 596

老师引导，学生回答：1、根据散点图直观判断；2、利用2相关指数R进行比较；

请两位学生代表上台操作，借助图形计算器，求出例2中线性回归方程、相关系数r以及回归方程拟合情况，并展示成果：

对于例2中两个模型的选择，学生是通过散点图进行直观判断，再结合知识梳理内容学生很容易想到通过相关指数R的比较,使学生懂得如何选择拟合效果更佳的模型.思考的设置是为后面活动探究做铺垫.

活动探究是为了让学生加深对线性回归分析的理解，既培养学生对信息技术融合应用的能力，也激发学生好奇心和求知欲，提高学生学习的积极性.

2，其他学生分小组进行.

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学生分小组2，···，8）数据

借助图形计

算器分别计x 38 39.43.45.47.49.51.55.算出两个模6 9 9 9 8 8 9 型的相关指2y 504 530 556 566 575 585 592 596 数R进行比较,再请一参考数据：ycdx回归方程类型的数据位学生代表回答其算出88结果，得出ˆi)2375.60(yiy(yiy)27186两个函数模i1i1型哪个拟合，

效果更好. n2(yiyi)

2i1相关指数：R1n

2(yiy)

i1

师生共同分析，对常见的几种非线性回归模型的求法进行一个小结.

【变式】：例2中yabx与ycdx两个回归方程类型，你认为哪个类型得到的预测值更可靠？并说明理由.（可以借助图形计算器进行计算）

附：例2中近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，变式中只给出

ycdx类型的数据,对于

yabx类型学生要懂得在含有一个解释变量的线性回归模型中R2r2，利用活动探究的结果算出yabx模型的相关2指数R，从数据上更直观的让学生感受到两个模型的拟合效果，也验证了直观判断结果的合理性.同时使学生更加深刻的理解相关指2数R的意义.

对非线性回归方程的求法进行小结，使学生懂得如何利用换元的思想将非线性回归转化为线性回归，也为课后思考题的思考奠定基础.

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思考与探究：根据例2散点图，你还能找到其他模型来

拟合y与x之间的关系吗？若能找到请建立y关于x

（四）

的回归方程.（可以借助图形计算器进行计算）

x 38

课后思考题是留给感兴趣的学生的一个开放性思考，培养学生的开放性思维，以及数学建模、数学运算和数据分析等能力.

课

后

思

考

y 504 530 556 566 575 585 592 596

学生课后回附：例2中近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，去思考

2，···，8）数据

39.6 43.9 45.9 47.9 49.8 51.8 55.9

多媒体展示小结

通过对本节课知识的小结强化，加深学生对本节课内容的理解和升华.

（五）

课

堂

小

结

（六）

必做部分：所有学生完成；

选做部分：只要求学

有余力的学生完成

分层作业主要是为了满足不同层次学生的需求，达到“夯实基础，拓展提高”的目的，真正把所学知识转化为能力.

课堂知识的再现，方便学生记忆、理解

作

业

布

置

板

书

设

计

回归分析 例1（1）

一、线性回归分析 活动探究

二、非线性回归分析 变式

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六、教学反思

1、本节课开始通过《知识梳理》的微视频对知识点进行一个简单回顾，再通过知识反馈，既节省本节课时间，又达到对本节课所需知识点的回顾.

2、例2通过分小组讨论，不仅培养学生合作交流能力，也让学生在讨论中培养独立地分析简单的统计数据，以及独立完成简单的统计分析问题的能力。再通过活动探究，培养学生对信息技术融合应用的能力，同时更好的掌握本节课内容.变式再通过分小组计算让学生更好的理解相关指数R2的意义.

3、由于本节课容量较大，所以例1 以老师讲解为主，通过教学生分析处理数据，如何代公式，以及教师的板书也起到示范作用，但中间计算较浪费时间，所以直接把结果给学生.

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