探究与发现 组合数的两个性质特级教师教学实录

1、已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( B )． A．{0}

B．{－1,0}

C．{0,1}

D．{－1,0,1} 1、已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝(

)． A．(－∞，2]

B．[1,2] C．[－2,2]

D．[－2,1]答案为：D 1、设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为(

) A．(－∞，2)

B．(－∞，2] C．(2，＋∞)

D．[2，＋∞)答案为：B

2、在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(

)． A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限答案为D 2、复数的模为(

)． A．

B．

C．

D．2答案为：B 2、在复平面内，复数(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(

)． A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限答案为：D 3、已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(

)． A．

B． C．

D．

答案为：A 3、已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(

)． A．

B．

C．或

D．0答案为：C 3、已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(

)． A．－4

B．－3

C．－2

D．－1答案为：B

1

4、执行如图所示的程序框图，输出的S值为(

)． A．1

B．

C．

D．答案为：C 4、阅读下边的程序框图，运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出S的值为(

)． A．64

B．73

C．512

D．585答案为：B 4、阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为(

)．

A．7

B．6

C．5

D．4答案为：D 5、已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(

)．

A．108 cm

B．100 cm

C．92 cm

D．84 cm答案为：B 33335、某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(

)． A．4

B．

C．

D．6答案为：B 5、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(

)．

2

A．

B．

C．

D．1 答案为：B 6、函数在区间上的最小值为(

)． A．－1

B．

C．

D．0答案为：B 6、函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)分别是(

)． 的部分图象如图所示，则ω，φ的值A．2，

B．2，

C．4，

D．4，

答案为：A 6、将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(

)． A．

B．

C．0

D． 答案为：B 7、已知椭圆C：(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(

)． A．

B．

C．

D． 答案为：B 7、已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(

)． A．

B． C．

D．答案为：D 3

7、已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(

)． A．＋y＝1

B．2 C．

D．答案为：C 8、已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝，则{an}的前10项和等于(

)． A．－6(1－3－10)

B．(1－310) C．3(1－3－10)

D．3(1＋3－10)答案为：C 8、等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(

)． A．

B．

C．

D．答案为：C 8、设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(

)． A．－6

B．－4

C．－2

D．2答案为：A 9、直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(

)． A．

B．2

C．

D． 答案为：C 10、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(

) A．12种

B．24种 C．30种

D．36种答案为：B 10、6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（

）

A．240种

B．360种

C．480种

D．720种答案为：C

10、从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（

A．24

B．18

C．12

D．6答案为：B

11、已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(

)． A．9

B．6

C．－9

D．－6答案为：D

）

4

11、曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(

) A．

B．

C．

D．1答案为：A

11、曲线在点处的切线的斜率为(

) A．

B．

C．

D．

答案为：B 12、设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(

)．

A．a∧b≥2，c∧d≤2

B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2

D．a∨b≥2，c∨d≥2答案为：C 12、已知圆C1：(x－2)＋(y－3)＝1，圆C2：(x－3)＋(y－4)＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(

)． A．

B．

C．

D．答案为：A 222212、观察下列各式：a+b＝1，a+b＝3，a+b＝4，a+b＝7，a+b＝11，…，则a+b＝（

）

223344551010A．28

B．76

C．123

D．199 答案为：C

13、设常数a∈R.若的二项展开式中x项的系数为－10，则a＝______.－2

713、设二项式的展开式中常数项为A，则A＝__________.答案为：－10 13、若的展开式中x的系数为7，则实数a＝__________.答案为：4

14、一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是__________．答案为：12

5

14、从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数．则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．答案为：

14、在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________．(结果用最简分数表示)答案为：

15、设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．答案为：

15、若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为__________．答案为：6 15、若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x+3y的最小值是______．答案为：2 16、若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．答案为：

16、三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P—ABC的体积等于________．答案为：

16、圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm. 答案为：4 17、在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B＝b. （1）求角A的大小；（2）若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

6

解：（1）由2asin B＝b及正弦定理，得sin A＝.因为A是锐角，所以. （2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝36. 又b＋c＝8，所以.由三角形面积公式S＝bcsin A，得△ABC的面积为. 17、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝. （1）求sin A的值；（2）若，b＝5，求向量在方向上的投影．

解：（1）由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝. 则cos(A－B＋B)＝，即cos A＝.又0＜A＜π，则sin A＝. （2）由正弦定理，有，所以，sin B＝.由题知a＞b，则A＞B，故. 根据余弦定理，有

＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．

故向量在方向上的投影为||cos B＝. 17、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc. （1）求A；（2）设，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．

解：（1）由余弦定理得cos A＝.又因0＜A＜π，所以.

7

（2）由（1）得sin A＝，又由正弦定理及a＝得S＝bcsin A＝··asin C＝3sin Bsin C，

因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)＝3cos(B－C)．

所以，当B＝C，即时，S＋3cos Bcos C取最大值3. 18、设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2a*n－a1＝S1·Sn，n∈N. （1）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和．

解：（1）令n＝1，得2a21－a1＝a1，即a21＝a1.因为a1≠0，所以a1＝1. 令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2.解得a2＝2. 当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an.即an＝2an－1. 于是数列{an－1n}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2. 所以数列{an－1n}的通项公式为an＝2. （2）由（1）知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是

Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2B2n＝1×2＋2×2＋3×23＋…＋n×2n.②

①－②得－B2nnn＝1＋2＋2＋…＋2n－1－n·2＝2－1－n·2n.从而Bnn＝1＋(n－1)·2. 18、正项数列{an}满足：－(2n－1)an－2n＝0. （1）求数列{an}的通项公式an；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）由－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以an＝2n. （2）由an＝2n，，则，

8

. 18、等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9. （1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.因为所以

解得a1＝1，.所以{an}的通项公式为. （2）因为，

所以. 19、设f(x)＝a(x－5)＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线与y轴相交于点(0,6)． 2（1）确定a的值；（2）求函数f(x)的单调区间与极值．

解：（1）因f(x)＝a(x－5)＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋2. 令x＝1，得f（1）＝16a，f′（1）＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故. （2）由（1）知，f(x)＝(x－5)＋6ln x(x＞0)，f′(x)＝x－5＋2＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3. 当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．

9

由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f（2）＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f（3）＝2＋6ln 3. 19、已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. （1）当时，讨论f(x)的单调性；

（2）若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．

解：（1）当时，f(x)＝x3－x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－x＋3. 令f′(x)＝0，得，. 当x∈(－∞，)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，)是增函数；

当x∈(，)时，f′(x)＜0，f(x)在(，)是减函数；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)是增函数．

（2）由f（2）≥0得.当，x∈(2，＋∞)时，

f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥＝3(x－2)＞0，

所以f(x)在(2，＋∞)是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f（2）≥0.

综上，a的取值范围是. 19、已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. （1）求a，b的值；（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

解：（1）f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4.

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（2）由（1）知，f(x)＝4e(x＋1)－x－4x，f′(x)＝4e(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·x2x. 令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e)．

－220、如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD．

（1）证明：PQ⊥平面DCQ；

（2）求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．

解：（1）由条件知PDAQ为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD．

所以PQ⊥平面DCQ. （2）设AB＝a．由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积

由（1）知PQ为棱锥P－DCQ的高．而PQ＝与棱锥P－DCQ的体积的比值为1. ，△DCQ的面积为，所以棱锥P－DCQ的体积故棱锥Q－ABCD的体积20、如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD．

（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）求二面角Q－BP－C的余弦值．

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在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，

所以四边形ABCE为矩形．所以

又PA⊥平面ABCD，PA＝1，所以

21、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C21：2x－y2＝1. （1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C21于P，Q两点．若l与圆x+y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；

解：

（1）双曲线C1：，左顶点A(，0)，渐近线方程：. 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. 解方程组得所以所求三角形的面积为.

（2）设直线PQ的方程是y＝x+b.因直线PQ与已知圆相切，故，即b2＝2. 由得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则

又y21y2＝(x1+b)(x2+b)，所以＝x1x2+y1y2＝2x1x2+b(x1+x2)+b＝2(－1－b2)+2b2+b2＝b2－2＝0. 故OP⊥OQ. 21、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C221：2x－y＝1. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；

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f′(x) f(x) ＋

↗

0 极大值

－

↘

0 极小值

＋

↗

所以，是极小值点，是极大值点．

（2）若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．

结合①与条件a＞0，知ax－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.

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