探究与发现 组合数的两个性质教学实录

1．2．2

组

合

第一课时

组合与组合数公式

预习课本P21～24，思考并完成以下问题

1．组合的概念是什么？

2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？

3．组合数有怎样的性质？

[新知初探]

1．组合的概念

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数的概念、公式、性质

组合数

定义

表示法

组合数

公式

性质

备注

[点睛]

排列与组合的联系与区别

联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．

区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．

乘积式

阶乘式

mCn＝Cnn－m从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数

mCn

nn－1n－2…n－m＋1AmnmCn＝m＝

Amm！n！mCn＝

m！n－m！mmm1_，Cn_ ＋1＝Cn＋Cn－0①n，m∈N*且m≤n，②规定：Cn＝1

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．(

) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．(

) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．(

) (4)C35＝5×4×3＝60．(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

2．C2n＝10，则n的值为(

) A．10

答案：B 3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有(

) A．504种

C．84种

答案：C 324．计算C28＋C8＋C9＝________．

B．5

C．3

D．4

B．729种

D．27种

答案：120

组合的概念

[典例]

判断下列问题是组合问题还是排列问题：

(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？

(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？

(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？

(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？

[解]

(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．

(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．

(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．

(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．

区分排列与组合的方法

区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

[活学活用] 判断下列问题是组合问题还是排列问题：

(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；

(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；

(3)10个人相互写一封信，共写了几封信；

(4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．

解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．

(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．

(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．

(4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．

有关组合数的计算与证明

43[典例]

(1)计算C10－C3A3；

7·m1(2)证明：mCmn＝nCn－1．

－3[解]

(1)原式＝C410－A7＝10×9×8×7－7×6×5 4×3×2×1＝210－210＝0．

n！(2)证明：mCm＝m·

nm！n－m！＝n·n－1！

m－1！n－m！n－1！－1＝n·＝nCmn－1．

m－1！n－m！

关于组合数公式的选取技巧

(1)涉及具体数字的可以直接用进行计算．

m(2)涉及字母的可以用阶乘式Cn＝n－1！n！nnCm＝·＝＝Cm－n1nn－mn－mm！n－1－m！m！n－m！n！计算．

m！n－m！

n(3)计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－m简化运算．

[活学活用] n3n1．计算：C383n＋Cn＋21的值．

－38－n≤3n，解：∵∴9．5≤n≤10．5．

3n≤21＋n，

∵n∈N*，∴n＝10．

n3n283021∴C383n＋C21＋n＝C30＋C31＝C30＋C31＝－30×29＋31＝466．

2×1722．求使3Cxx－3＝5Ax－4成立的x值．

－解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为

x－3！x－4！3·＝5·，

x－7！4！x－6！即3x－35＝，即为(x－3)(x－6)＝40．

4！x－6∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2．

经检验知x＝11时原式成立．

3．证明下列各等式．

(1)Cmn＝m＋1m＋1C＋；

n＋1n1－－12m1m1(2)C0n＋Cn＋1＋Cn＋2…＋Cn＋m－1＝Cn＋m．

m＋1n＋1！解：(1)右边＝·

n＋1m＋1！[n＋1－m＋1]！＝＝m＋1n＋1！·

n＋1m＋1！n－m！n！m＝Cn＝左边，∴原式成立．

m！n－m！－－123m1123m1(2)左边＝(C0n＋1＋Cn＋1)＋Cn＋2＋Cn＋3＋…＋Cn＋m－1＝(Cn＋2＋Cn＋2)＋Cn＋3＋…＋Cn＋m－13m14m1m2m1m1＝(C2n＋3＋Cn＋3)＋…＋Cn＋m－1＝(C3n＋4＋Cn＋4)＋…＋Cn＋m－1＝…＝Cn＋m－1＋Cn＋m－1＝Cn＋m－－－－－＝右边，∴原式成立．

简单的组合问题

[典例]

在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加．

[解]

(1)C512＝792种不同的选法．

2(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C9＝36种不同的选法．

5(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C9＝126种不同的选法．

解答简单的组合问题的思考方法

(1)弄清要做的这件事是什么事；

(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；

(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．

[活学活用] 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，

取法种数是C38＝8×7×6＝56．

3×2×1(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数7×6是C2＝＝21．

72×1(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是7×6×5C3＝35．

7＝3×2×1

层级一

学业水平达标

61．C58＋C8的值为(

) A．36

C．88 563解析：选A

C8＋C68＝C9＝C9＝

B．84

D．504 9×8×7＝84．

3×2×12．以下四个命题，属于组合问题的是(

) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地

解析：选C

选项A是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C．

2x43．方程Cx14＝C14的解集为(

) －A．4 C．4或6

B．14

D．14或2 x＝2x－4，解析：选C

由题意知2x－4≤14，x≤14解得x＝4或6．

x＝14－2x－4，或2x－4≤14，x≤14，

4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆(

) A．220个

C．200个

3解析：选A

C12＝220，故选A．

B．210个

D．1 320个

5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有(

) A．60种

C．30种

B．48种

D．10种

解析：选C

从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选2派方法共有C5·C23＝30种．故选C．

12186．C03＋C4＋C5＋…＋C21的值等于________．

1218解析：原式＝C04＋C4＋C5＋…＋C21

218＝C15＋C5＋…＋C21

18184＝C1721＋C21＝C22＝C22＝7 315．

答案：7 315 7．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为________．

解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C36＝20种．

答案：20 8．不等式C2n－n<5的解集为________．

nn－12解析：由Cn－n<5，得－n<5，∴n2－3n－10<0．

2解得－2

∴n＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}．

答案：{2,3,4} 49．(1)解方程：A3m＝6Cm；

x1x(2)解不等式：C8>3C8．

－解：(1)原方程等价于

mm－1m－2m－3m(m－1)(m－2)＝6×，

4×3×2×1∴4＝m－3，m＝7．

x－1≤8，(2)由已知得：∴x≤8，且x∈N*，

x≤8，1x∵Cx8>3C8，∴－

8！3×8！>．

x－1！9－x！x！8－x！即1327>，∴x>3(9－x)，解得x>，

49－xx∴x＝7,8．

∴原不等式的解集为{7,8}．

10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)

(1)图中有多少个矩形？

(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？

解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C2C27·5＝210(个)．

(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C610＝C410＝210(种)走法．

层级二

应试能力达标

41．若Cn>C6n，则n的集合是(

) A．{6,7,8,9}

C．{n|n≥6}

B．{0,1,2,3}

D．{7,8,9}

46C>Cnn，46解析：选A

∵Cn>Cn，∴

n≥6，

n！n！>，⇒4！n－4！6！n－6！

n≥6.2n－9n－10<0，－1

n≥6，n≥6.

∵n∈N*，∴n＝6,7,8,9．

∴n的集合为{6,7,8,9}．

2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(

) A．12种

C．36种

B．18种

D．54种

4×3＝18种．

22解析：选B

由题意，不同的放法共有C13C4＝3×3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(

) A．60种

C．65种

B．63种

D．66种

4解析：选D

和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C4＝1种，取2奇4数2偶数的取法有C2C24·5＝60种，取4个数均为奇数的取法有C5＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．

4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有(

) A．18对

C．30对

B．24对

D．36对

解析：选D

三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．

x2x25．方程Cx17－C16＝C16的解集是________．

＋xx1x12x2解析：因为Cx17＝C16＋C16，所以C16＝C16，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋－－＋2或x－1＋2x＋2＝16，得x1＝－3(舍去)，x2＝5．

答案：{5} 6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．

解析：由已知分两类情况：

(1)买5本2元的买法种数为C58．

(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C4C28·3．

42故不同买法种数为C5C3＝266．

8＋C8·答案：266 56127．已知C4n，Cn，Cn成等差数列，求Cn的值．

46解：由已知得2C5n＝Cn＋Cn，

n！n！n！所以2·＝＋，

5！n－5！4！n－4！6！n－6！整理得n2－21n＋98＝0，

解得n＝7或n＝14，

要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，

2于是C1214＝C14＝14×13＝91．

2×1

8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．

(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？

(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？

(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，则不同的映射f又有多少个？

解：(1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有A44＝24个．

(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A中每一个元素的象都有3种可能，只有把A中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f有34＝81个．

(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，

2222∴不同的映射有：1＋C4A2＋C24A2＋C4＝31个．