2.基本不等式多媒体教案及点评

3.4 基本不等式：abab

2

授课类型：新授课

教材分析

1、教材内容及其地位和作用

ⅰ）本节是基本不等式第一课时，承前不等式性质，为第二课时利用公式

a2b22ab;abab(a0,b0),证明其他不等式和解决实际生活中求某些最值2问题做铺垫。

ⅱ）本节内容的探索和证明，融合了函数，向量，几何等多方面的知识。蕴含了数形结合、类比联想、抽象概括等丰富的数学思想和科学的研究方法，能拓广学生思维，启迪学生的智慧。

ⅲ）在高中数学中起着工具性与方法性的作用。

2、学情分析

高一学生已经具备不等式等基本知识，能够比较两个实数大小，具备一定的生活经验和知识迁移能力，动手能力较强，思维比较敏捷，已经形成合作互助，勇于自主探究，勇于实践的学风。本节内容的探讨符合学生“最近发展区”。

3.课时安排：2课时

第一课时：能够掌握公式ab2ab;单运用。

第二课时：ab2ab;2222abab(a0,b0)及其证明，并能进行简2abab(a0,b0)公式运用：回归实践，解决某些函数2的最值问题，证明不等式问题，解决实际生活中的某些数学问题，把知识内化为一种能力。

4.教学目标

知识目标：根据人教版高一下教材大纲，要求学生掌握公式a2b22ab;abab(a0,b0)及其证明，并能进行简单运用。

2

能力目标：通过情景创设，培养学生的动脑，动手能力，分析问题，解决问题的能力，借此培养学生发现问题的探索习惯与质疑事件的敏锐性，养成科学的思维习惯，培养学生的创新精神与实践能力。

情感目标：在平等对话、和谐互动交流的课堂教学氛围中，渗透建构主义理念和数形结合、类比联想、抽象概括等数学思想方法，让学生经历“情景中质疑——交流中合作——练习中自给自悟——作业中延伸”的求知历程，培养学生团队精神与合作交流能力，不怕困难，勇于探索的精神。

5.重难点

重点：两个正数的算数平均数与几何平均数的概念、相互关系的证明以及简单运用是本节课的重点。如果开门见山给出公式，既不利于学生主动探索知识能力的培养，也不利于学生理解数学与生活之间的关系，中学生学习数学重要的是能够理解“数学源于生活，又反作用于生活”。

难点：基本不等式的证明。

二、教学方法

现代教育理论认为“合作与交往是主体性发展的重要条件”，新课程标准明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流才是学习数学的重要方式”。针对高二学生的实际情况我采用“自主与合作探究”教学模式；采用下列教学方法：

引导发现法；预设性教学和生成式教学相结合法

三、学法指导

动手实践：通过创设实际问题情景，引发学生认知冲突，让学生动手计算，感知新知识产生。

自主探究：学生将自己手中的数据进行整理、提炼、抽象概括出一般性的结论。

合作交流：有比较才会产生“观念冲突”，让学生将自己的认知在小组中进行交流，把自己的认知与别人的认知进行比较，努力修正不足之处，从而促进新的学习。

四、教学手段

多媒体辅助教学：利用多媒体可以激发学习趣味性，增大课堂容量，可以生动形象让学生直观感受知识的产生形成过程。在课堂引入、归纳猜想、演示证明过程与方法、归纳小结、出示例习题、总结反思等方面使用多媒体。

五、教学过程

（一）情景引入，进入新课

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．

会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它

看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

探究1：

思考：这会标中含有怎样的几何图形？

思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

D

探究2：

1、正方形ABCD的面积S=

2、四个直角三角形的面积和S’=

F

3、S与S’有什么样的不等关系？

GC

思考：S与S’有相等的情况吗？

A（二）新课讲解

BHE

1、重要不等式：一般地，对于任意实数a,b,总有ab2ab，当且仅当a=b时，等号成立。

用文字叙述为：

思考：

你能给出不等式ab2ab的证明吗？

2、打起精神，我们一起来探究——基本不等式

如果a>0,b>0,我们用a,b分别代替a,b,可得到什么结论？

电脑演示：周长为100的几个矩形场地；学生看大屏幕并计算各个场地的面积。

周长为100的几个矩形场地（面积从小到大排列）

30

40 35

20 15

10

A B C

25

45

25 5

E D

问题：请同学们根据屏幕信息观察矩形的长与宽在什么关系下面积越来越大。

2222

你能用不等式的性质直接推导出这个不等式吗？

证明不等式：ababa0,b0

2注意推导的方法：分析法

abab

2

只要证

ab

①

证明：要证

要证①，只要证ab

0

②

a0,b0,aa,bb

22

要证②，只要证（

—

）2

≥0

③

显然，是成立的，当且仅当a=b时，中的等号成立. 基本不等式：特别地，若a>0,b>0,则a+b

2ab,通常我们把上式写作：

当且仅当a=b时取等号. 注意适用范围：a>0,b>0

在数学中，我们把ab叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数. 2文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

你能用下面这个图得出基本不等式的几何解释吗？

如图，AB是圆的直径，O为圆心，点C是AB上一点，

AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD、OD.

D

①如何用a,b表示OD？

OD=

②如何用a,b表示CD？

CD=

A B a C b O

③OD与CD的大小关系怎样？

OD

CD abab

几何意义：半径不小于弦长的一半

2E 填表比较：

适用范围

文字叙述

“=”成立条件

a2b22ab

abab

2

注意从不同角度认识基本不等式（以上三种不同的角度，即从代数的角度，从几何的角度，从不等式性质的角度用分析法推导来认识基本不等式）. 3、基本不等式的几种常用结论

⑴

ba11

a,bR;

⑵

a

aR;

a

aR.

abaa（三）基本不等式的应用

例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

最值定理：已知x,y都是正数，P,S是常数.

⑴xyPxy2P当且仅当xy时，取“”号.

⑵xySxy12S当且仅当xy时，取“”号.

4

利用基本不等式求最值时，要注意：①各项皆为

；

一“正

”

②和或积为

；

二“定”

③注意

成立的条件.

三“相等”

例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m3 ,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

A D 练练手：

四、课堂小结

11.x0,当x取什么值，x的值最小？最小值是多少？B C 1、两个重要不等式

xyxa,bR,那么a2b22ab,当且仅当ab时，等号成立ababa0,b0,当且仅当ab时，等号成立.

22、利用基本不等式求最值

已知

x, y 都是正数, P, S 是常数. ⑴xyPxy2P当且仅当xy时，取“”号.

⑵xySxy12S当且仅当xy时，取“”号.

4

求最值时注意把握“一正，二定，三相等”

五、课后作业

课本第100页

练习第2、4题；习题3.4 A组

第1题

六、思考题

1、变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？（用两种方法解）

A D

1x1的最小值,⑵若0x1,求函数yx12x的最大2、⑴求函数fxx2x1B C xy

值,

附基本不等式的证明：

接着挖掘教材（人教版高中《数学》必修五3.2节，我们反问自己，编者在这里给出几何解释的意图是什么？不等式abab（当且仅当a=b时取等号，a＞0，b＞0成立）2所构造的几何图形是否唯一？如何引导学生构造几何图形？还可以从代数，构造函数或者其它方面给出证明，下面给出几种证明。

平面几何类1.构造直角三角形ABC，其中C是直角。三边长分别为a，b,ab则斜边上高线长与中线长分别为1ab，由高线长小于等于中线长知结论成立。

ab2,ab向量类方法2.设x=(a,b),y(b,a),而xaby，x.y2ab

,由向量数量积性质：x.yx.y，即可证得结论（当且且当x=y即a=b时取等号）

函数类方法3.显然，a,b是方程=(ab)24ab0，从而结论成立。

x2(ab)xab0的两个实根，故有⊿

六、教学评价分析

1.

学生在新知形成过程中的表现，合作交流中体现的团结协作，以及创新精神实行多元化评价。

2.

本着让学生在自主探究中体验新知的形成过程，主题把握住生成式教学，重点培养学生参与能力以及发现问题，提出问题以及分析问题解决问题的能力。

3.

在教学中实施因材施教，对不同层次的学生给予不同的帮助，通过试题测试，问卷调查等途径，了解学生对知识的掌握情况，查漏补缺。