3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计第二课时

复数的乘、除法运算

湖南省永州市李达中学 桂军民

【教学目标】 1．掌握复数的乘法和除法运算．

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3．掌握共轭复数的概念及共轭复数的性质．

【教学重点】

1．复数的乘法、除法的计算；

2．共轭复数的认识与应用．

【教学难点】

复数的除法及共轭复数的结合应用．

【教学过程】

(一)复习

计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)．

(二)推进新课：

1、复数的乘法运算法则：

（推导）设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，则(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i．

结论：复数z1z2的积为：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i．

实例应用：

例1．计算：(14i)(72i)．

(类比：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i换成－1，再把实部、虚部分别合并．) 注意：两个复数的积仍然是一个复数．

探究：观察下计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？

例2．计算（1）(14i)(14i)；（2）(14i)(72i)(14i)；（3）(32i)．

2(14i)(72i)(14i)(32i)答案：（1）17；（2）；（3）

22归纳：复数的乘法运算律：

(1)交换律：

z1(z2z3)=(z1z2)z3；

(2)结合律：

z1(z2z3)=（z1z2）z3；

(3)分配律：

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3．

练习：

计算(12i)．

3、共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．如：a＋bi与a－bi就是共轭复数．

练习：说出下列复数的共轭复数32i,43i,5i,52i,7,2i

2

设复数z＝a＋bi，z的共轭复数为z，则z＝a－bi(a，b∈R)，则共轭复数的性质有：

①|z|＝|z|(因为|z|＝|a＋bi|＝a2b2，|z|＝|a－bi|＝a2b2)；

z＝z2∈R(因为z·z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2b2＝z2)；

②z·③z＋z＝2a为实数；z－z＝2bi(b≠0)为纯虚数；

④z为实数⇔z＝z；

⑤z为纯虚数⇔z＋z＝0且z≠0．

4、复数的除法： 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，化简后写成代数形式(分母实数化)． (abi)(cdi)复数的除法法则：(与二次根式的分母有理化相似) 32i(12i)2abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2

例3．计算(32i)(23i);(12i)(32i)

练习：计算．

(五)【课堂小结】

1．复数的乘、除法原理，复数的运算法则；

2．共轭复数的性质；

3．复数除法及应用．

(六)

【课后巩固性练习】

1．复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，那么z＝ (

)．

A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i z12．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

z2(七)

【课后作业】

课本第60页习题T1(2)、(3)； T2(3) ； T3 (3) 、(4) ．

【课后巩固性练习】答案

1．解：z1a＋2i＝＝z23－4i＋9＋16＋＝3a＋4ai＋6i－8＝25－＋25＋，∴3a－8＝0，8∴a＝．

34a＋6≠0，

－2．解：z＝4＋3i4＋3i＝1＋2i1＋2i1－2i1＝(10－5i)＝2－i，∴z＝2＋i．

1－2i5