一 比较法教学创新设计

第二讲 证明不等式的基本方法

课 题：

第01课时 不等式的证明方法之一：比较法

教学目的：

知识目标：比较法是不等式证明的基本方法，它包括：作差比较，作商比较

能力目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式和建立简单的数学模型解决比较大小的实际问题.

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养发现问题解决问题的意识。

教学重点：不等式证明的基本要求、写法，比较法证明不等式的思路

教学难点：代数变形的方向，讨论以及简单数学模型的建立

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教

具：多媒体、实物投影仪

一、问题提出：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

要证明a>b，最基本的方法就是证明a-b>0，即把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小。

二、典型例题：

例1、设ab，求证：a23b22b(ab)

2422例2、若实数x1，求证：3(1xx)(1xx).

abab0abab0

abab0

证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x3x1xx2x2x2x

=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)

=2(x1)[(x)].

22424231223413x1,从而(x1)20,且(x)20,

24∴ 2(x1)[(x)]0,

∴

3(1xx)(1xx).

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

小结：

(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．

(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形2422212234

的方法．

(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

例3、已知a,bR,求证abab.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

abbaab0ababab(a2）商值比较法：设ab0,

abbabbabbab)0，从而原不等式得证。

aaabba1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab小结：

当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有t1tSS2SS(mn)t2，可得t1m1nS，，t2，

2m2nmn2mn222SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2从而t1t2，

mn2mn2(mn)mn2(mn)mn其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

例5、设f(x)2x1,pq0,pq1.求证：对任意实数a,b，恒有

pf(a)qf(b)f(paqb).

（1）

证明

考虑（1）式两边的差。

pf(a)qf(b)f(paqb).

＝p(2a1)q(2b1)[2(paqb)1]

2222

＝2p(1p)a22q(1q)b24pqabpq1.

（2）

pq1,pq0,(2)2pqa22pqb24pqab2pq(ab)20.

即（1）成立。

拓张探究：琴生不等式，函数的凹凸性。

三、课堂练习：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x与xx1；（2）xx1与(x1)2. 2．已知a1.

求证：（1）a22a1;

（2）abcabc32222a1.

21a3．若abc0，求证abc(abc)四、课时小结：

.

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

应用不等式解决实际问题时，

关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．

五、课后作业：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x与xx1；（2）xx1与(x1)2. 2．已知a1.

求证：（1）a22a1;

（2）abcabc32222a1.

1a23．若abc0，求证abc(abc)4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．

5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．

.

6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．

7．如果x>0，比较x1与2x1的大小．

28．已知a≠0，比较a22a1a22a1与a2a1a2a1的大小．

9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．

