1.3 二项式定理（通用）教学设计模板

1.3

“杨辉三角”与二项式系数的性质

全椒慈济中学

张娟

学习目标

1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用．

知识点

“杨辉三角”与二项式系数的性质

(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：

思考1

从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？

思考2

计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？

思考3

二项式系数的最大值有何规律？

梳理

(1)杨辉三角的特点

①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数________ ②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即_____________

(2)二项式系数的性质

性质

－内容

nmCm，即二项展开式中，与首末两端“_____”的n＝Cn对称性

两个__________相等

如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项Tn的二项式系数最大

增减性与最大值

21如果n为奇数，那么其展开式中间两项Tn1与Tn1的221二项式系数相等且同时取得最大值

1二项展开式中各二项式系数的和等于____，即C0n＋Cnn＋C2n＋…＋Cn＝_____ 各二项式系数的和

奇数项的二项式系数之和等于_____项的二项式系数35246之和，都等于2n1，即C1n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn－＋…＝______

类型一

与杨辉三角有关的问题

例1

如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．

引申探究

本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？

反思与感悟

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

跟踪训练1

如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.

类型二

求展开式的系数和

例2

设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．

(1)求a0；

(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；

(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；

(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；

(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 反思与感悟

二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

f1＋f－1奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

2f1－f－1偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2跟踪训练2

在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：

(1)二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和．

类型三

二项式系数性质的应用

3例3

已知f(x)＝(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

反思与感悟

(1)二项式系数的最大项的求法

求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．

①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

(2)展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设Ak≥Ak－1，展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出Ak≥Ak＋1，

k，即得出系数的最大项．

跟踪训练3

写出(x－y)11的展开式中：

(1)二项式系数最大的项；

(2)项的系数绝对值最大的项；

(3)项的系数最大的项和系数最小的项；

(4)二项式系数的和；

(5)各项系数的和．

课堂训练

1．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于(

)

A．8

B．9

C．10

D．11 2．若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为(

) A．15

B．10

C．8

D．5 3．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(

)

A．8

B．6

C．4

D．2 4．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．

5．已知(1－x)8的展开式，求：

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数最小的项．

课堂小结

1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．

2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．

3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．

(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0,1,2，…，n}．