3.2.2 复数代数形式的乘除运算优质课教案整理

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

学习能力发展目标

通过探究理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.理解并掌握共轭复数的性质及应用．掌握复数代数形式的四则运算法则，能熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则. 问题探究

探究一

复数的乘法及运算律

思考

请你探究in(n∈N*)的取值情况及其规律．

答案

in(n∈N*)的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k1＝i，i4k＋＋2＝－1，i4k3＝－i，i4k＝1，k∈N. ＋梳理

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积

(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

探究二

共轭复数

思考

当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？

答案

当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有z·z＝|z|2＝|z|2.事实上，若z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z·z＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2. 梳理

(1)共轭复数的概念

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．z的共轭复数用z表示．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi. (2)共轭复数的性质

①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．

②实数的共轭复数是它本身，即z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．

z1z2＝z2z1

(z1z2)z3＝z1(z2z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

③若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．

④a.z·z＝|z|2＝|z|2；b.|z|＝|z|；c.z＋z＝2a，z－z＝2bi(z＝a＋bi，a，b∈R)．

探究三

复数的除法法则

1．复数的除法法则

z1a＋biac＋bdbc－ad设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则＝＝＋i. z2c＋dic2＋d2c2＋d2复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 2．实数的平方根

设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数±a；当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数±－ai. 3．虚数的平方根

设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，x＋yi(x，y∈R)是z＝a＋bi的平方根，则有(x＋yi)2＝a＋bi，22x－y＝a，22即x－y＋2xyi＝a＋bi，所以有解方程组求出x，y的值即可．

2xy＝b，

1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减．(

√

) 2．两个共轭复数的和与积是实数．(

√

) 23．若z1，z2∈C，且z21＋z2＝0，则z1＝z2＝0.(

×

) 题型探究

类型一

复数的乘、除法运算

命题角度1

复数乘、除法基本运算

例1

(1)i(1－i)2的值等于(

) A．－4

B．2

C．－2i

D．4i (2)若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

(3)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝________. 考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

答案

(1)B

(2)D

(3)1＋i 解析

(1)i(1－i)2＝i(－2i)＝2.

1＋i1－2i3－i31i(2)由(1－z)(1＋2i)＝i，得z＝1－＝＝＝－i，在复平面内表示复数z5551＋2i1＋2i1－2i31，－，位于第四象限．

的点的坐标为552i1－i2＋2i2i(3)z＝＝＝＝1＋i. 21＋i1＋i1－i反思与感悟

(1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

(2)常用公式

①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．

②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．

③(1±i)2＝±2i. a跟踪训练1

(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．

b考点

复数的乘除法运算法则

题点

利用乘除法求复数中的未知数

答案

2 解析

因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，

又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，

a得a＝2，b＝1，所以＝2. b(2)已知复数z满足z(z＋2)＝4＋3i，求z. 解

设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi. 由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i. 2x2＋x＋y＝4，得

xy－yx＋2＝3，

x＝－1－解得3y＝－2所以z＝－1－11，2

x＝－1＋或3y＝－2，11，2

113113－i或z＝－1＋－i. 2222命题角度2

复数乘除法的灵活运算

例2

计算下列各式：

250；

(1)i2 016＋(2＋2i)8－1－i

13(2)－i6. 22考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

解

(1)原式＝i4×5042＋[2(1＋i)2]4－－2i25

＝1＋(4i)4－i25＝257－i. 131313(2)原式＝－i32＝－i2－i2＝(－1)2＝1. 222222反思与感悟

复数四则运算的解答策略

(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．

1＋i1－i(2)记住一些结论，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等．

1－i1＋i1＋i2 005等于(

) 跟踪训练2

(1)1－iA．i

C．22 005

考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

答案

A B．－i D．－22 005

1＋i2 0041＋i＝i. 解析

原式＝1－i1－i(2)计算：

①－23＋i22 0001＋i＋＋3－i；

1＋23i1＋i②1＋in＋i2n＋…＋i2 000n(n∈N*)．

考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

－23＋i1＋i解

①原式＝＋(－i)1 000＋

3－i－i－23＋i1267＝i＋1＋＋i＝＋i.

5555②当n＝4k(k∈N*)时，原式＝112001个1＝2 001. 当n≠4k(k∈N*)时，

1－i2 001n1－i2 000n·in1－in原式＝＝＝＝1. 1－in1－in1－in

类型二

共轭复数的概念及其应用

1＋2i例4

(1)若z＝，则复数z等于(

) iA．－2－i

C．2－i

B．－2＋i D．2＋i (2)若复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是________．

考点

共轭复数的定义与应用

题点

利用定义求共轭复数

答案

(1)D

(2)5 1＋2ii＋2i2i－2解析

(1)∵z＝＝2＝＝2－i，

ii－1∴z＝2＋i. 5i2＋i5i(2)由已知z＝＝＝i(2＋i)＝－1＋2i，故|z|＝|z|＝5. 2－i2－i2＋i反思与感悟

(1)已知关于z和z的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

(2)共轭复数的常用性质：①z·z＝|z|2＝|z|2；

z1z1②z1＋z2＝z1＋z2，z1－z2＝z1－z2，z1·z2＝z1·z2，＝(z2≠0)；

z2z2③若z∈R，则z＝z，反之亦成立；若z为纯虚数，则z＋z＝0，反之亦成立．

跟踪训练4

(1)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，则________．

考点

共轭复数的定义与应用

题点

利用定义求共轭复数

答案

i 解析

m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，

可得m＝2，n＝－2，

m＋ni2－2i1－i1－i1－i＝＝＝＝－i. 2m－ni2＋2i1＋im＋ni的共轭复数为m－ni

所以它的共轭复数为i. (2)已知复数z满足：z·z＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．

考点

共轭复数的定义与应用

题点

利用定义求共轭复数

解

设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z·z＝a2＋b2，

∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，

即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，

22a＋b－2b＝8，a＝3，∴解得

2a＝6，b＝1，

∴a＋b＝4，

∴复数z的实部与虚部的和是4. 达标检测

1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于(

) A．4＋2i

C．2＋2i

考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

答案

A 解析

z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i. 2．若i是虚数单位，则13A.－i

41213C.＋i

26考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

答案

B 解析

i3－3i3＋3i1i3＝＝＝＋i. 124123＋3i3＋3i3－3ii等于(

) 3＋3i13B.＋i 41213D.－i 26B．2＋i D．3＋i 1－i103．计算：＝________. 1＋i考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

答案

－1 1－i10＝－i1＋i10＝(－i)10＝－1. 解析

1＋i1＋iz14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

z2考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

8答案

3解析

＝z1a＋2ia＋2i3＋4i＝＝

z23－4i253a－8＋6＋4ai，

258根据已知条件，得a＝. 35．计算：

1＋i71－i73－4i2＋2i3(1)＋－；

1－i1＋i4＋3i111＋i7. (2)(2＋2i)5＋1＋i4＋i1－i考点

复数的乘除法运算法则

题点

乘除法的运算法则

1－i83－4i1＋i21＋i解

(1)原式＝[(1＋i)]＋[(1－i)]·－

1－i1＋i3－4ii231＋i23＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i ＝－16i. 8·2i1＋i

i111＋i7

(2)(2＋2i)5＋1＋i4＋i1－i1＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋1＋i22＋i7

1＝162(－1＋i)－－i 41162＋＋(162－1)i. ＝－4

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.