3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质公开课教案

§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

石家庄市鹿泉区第二中学授课教师:董金玲

一、教学目标：

1．知识与技能：掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义．

2．过程与方法：培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．

3．情感、态度与价值观：培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．

二、教学重点：

复数代数形式的加、减法的运算法则及几何意义．

三、教学难点：

复数加法、减法的几何意义．

四、教学过程：

（一）情景引入: 乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时．在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算．

复数集内可进行复数的四则运算吗？

实数可以进行加减运算，并且具有丰富的运算律，其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律; 对于引入的复数，其代数形式类似于一个多项式，当然它也应有加减运算，并且也有相应的运算律. （二）新知导学: 建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。

一、复数的加法运算

1.

复数的加法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di

(a，b，c，d∈R)是任意

两个复数，

那么z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

(a＋c)＋(b＋d)i

很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.

2、复数加法的运算律:

对任意z1，z2，z3∈C有

(1)交换律: z1＋z2＝z2＋z1.

(2)结合律: (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).

3、例题:

已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，

则z1＋z2＝(

).

A.8i

B.6

C.6＋8i

D.6－8i

【解析】z1＋z2＝3＋4i＋3－4i

＝(3＋3)＋(4－4)i＝6

4、复数加法的几何意义:

复数加法的几何意义：

就是向量加法的平行四边形法则（或三角形法则）

已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i 及其对应的向量

OZ1

＝(a , b

) , OZ2＝(c , d )

以OZ1和OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2

如图所示

，

则对角线OZ所表示的向量OZ= OZ1+OZ2

而OZ1+OZ2所对应的坐标是( a

+ c

,

b

+ d

) 这正是两个复数之和

z1 +z2所对应的有序实数对。

想

一想：

在复平面内，复数z1 ，

z2 ，

z的对应

的

点分别

为

ZI，Z2，Z，

已知OZ= OZ1+OZ2

z1＝1＋a i,

z2＝b-2i ，

z＝3+4i (a 、b∈R), 则

a + b = 【解析】由条件知

z= z1 + z2

∴

（1＋a i)+( b-2i)= 3+4i

即

(1＋b )+ (a - 2) i = 3+4i

,由复数相等的条件知：

1b3b2



∴

∴

a + b =

8



a24a6二、复数的减法运算

1.

复数的减法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di

(a，b，c，d∈R)是任意

两个复数，

那么z1-z2＝(a＋bi) - (c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i

很明显，两个复数的差仍然是一个确定的复数.

2、例题：

1、计算(5-6i) + (-2-i) - (3+4i) 【解析】

(5-6i) + (-2-i) - (3+4i)

=（5-2-3）+（-6-1-4）i

=

-11i

2、若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(

).

A.－2

B.4 C.3

D.－4

【解析】z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.

【答案】B

3、复数减法的几何意义

复数减法的几何意义：就是向量减法运算的三角形法则。

类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量Z2Z1= OZ1-OZ2=(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以OZ1和OZ2

的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量Z2Z1

复数

z1 - z2所对应的向量是

Z2Z1

再由向量的几何意义知，

| z1 - z2|表示在复平面内

,复数z1与z2对应的两点之间的距离.

三、活学活用:

1、复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点A、B、C是一个正方形的三个顶点，如下图所示，求这个正方形的第四个顶点D对应的复数．

解: 设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：

ADODOA=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i

BCOCOB=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i

∵ADBC，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，

x11x2∴

解得

y23y1故点D对应的复数为2－i。

能力提升：

2、已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解：法一：设z1＝a＋bi，

z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，

①

(a－c)2＋(b－d)2＝1.

由①②得2ac＋2bd＝1. ∴|z1＋z2| ＝a＋c2＋b＋d2

＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd

＝3.

法二：设O为坐标原点，

z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴△OAB是边长为1的正三角形，

∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1

＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，

∴|z1＋z2|＝|OC| ＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝3

（四）课堂练习： 1143 (1)(3＋2i)＋(2－i)－(3－2i)＝________.

(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.

(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z. 【答案】

②

(1)1＋i (2) 因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i) ＝4＋i. (3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2y2又|z|＋z＝1＋3i，所以 ＋x＋yi＝1＋3i， x2y2由复数相等得 解得 x-

4x2y2x1y3所以z＝－4＋3i. y3（五）课堂小结：

1．

复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，

复数的减法是加法的逆运算．

2．

复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．

复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

(六)课堂检测

：

1．已知复数z1＝2＋3i，z2＝4－3i，则z1＋z2等于(

) A．8i

B．6

C．6＋8i

D．6－8i 2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(

) A．0

B．6i

C．6

D．6－6i →→3．设O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2＋3i，→－3－2i，那么向量BA对应的复数是________

（七）作业： 课本P112 A组 1、2、3 五、板书设计：

六、教学反思：

本节课通过实际情景引入，借助实数集内实数及多项式的加减运算，在学生独立学习后师生共同探究的。同时以复数的几何意义及向量的加减运算为基础，得到复数代数形式的加减运算的几何意义。本节运用类比思想，使复数加减运算与向量的加减运算完美地统一起来，激发学生学习复数运算的积极性。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、

复数的加法运算

1复数的加法运算法则：

2复数加法的运算律:

3复数加法的几何意义

二、

复数的减法运算

1复数的减法运算法则：

2复数减法的几何意义

例题：

练习：

小结：

课堂检测：