2.基本不等式教案（名师）

都匀市民族中学集体备课学科教案

主备人

：陆永慧 课

题

基本不等式

课

型

新授课

知识与技能:

理解掌握基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式.

教学目标

过程与方法:

通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力.

情感态度与价值观:通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考，勤于动手的良好品质. 教学重点

均值不等式定理的证明及应用. 教学难点

等号成立的条件及解题中的转化技巧.

教法指导

采用观察—感知—抽象—归纳—探索；启发诱导、讲练结合的教学方法. 学法指导

自主探索、合作交流

教学准备

多谋体、PPT

教 学 内 容

个人备课

一、导入新课

复习回顾：

定理1：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2

当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0 所以，（a－b）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到

教学a ＋b（基本不等式）：如果a，b是正数，那么

≥ab 过定理22程

（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab ∴a ＋b≥2ab ，即a ＋b

≥ab 2a ＋b

＝ab 2

显然，当且仅当a＝b时，说明：1）我们称a ＋b

为a，b的算术平均数，称ab 为a，2

b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a ＋b2）a 2＋b 2≥2ab和

≥ab 成立的条件是不同的：2前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、新课讲授

教师活动

学生活动

例1 已知x，y都是正数，求学生思考，合作讨论得出结证：（1）如果积xy是定值P，论：

那么当x＝y时，和x＋y有最例1 证明：因为x，y都是正小值2P

； （2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大12值

S

4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在。

x＋y数，所以

≥xy 2（1）积xy为定值P时，有x＋y

≥P ∴x＋y≥2P 2上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P . （2）和x＋y为定值S时，有S1xy ≤ ∴xy≤

S 2 24上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大

1值 S 2. 例2 ：已知a、b、c、d都是4正数，求证：（ab＋cd）（ac

＋bd）≥4abcd

学生分组讨论，得出结论：

分析：此题要求学生注意与均例2 证明：由a、b、c、d都值不等式定理的“形”上发生是正数，得

联系，从而正确运用，同时加ab＋cd

≥ab·cd ＞0，2强对均值不等式定理的条件ac＋bd的认识.

≥ac·bd ＞0，

2例3 某工厂要建造一个长方（ab＋cd）（ac＋bd）∴

≥体无盖贮水池，其容积为44800m3，深为3m，如果池底abcd 每1m2的造价为150元，池壁即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 每1m2的造价为120元，问怎

样设计水池能使总造价最低，学生分组讨论，得出结论：

最低总造价是多少元？

例3 解：设水池底面一边的分析：此题首先需要由实际问长度为xm，水池的总造价为l题向数学问题转化，即建立函元，根据题意，得

数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式l＝240000＋720（x＋≥2240000＋1600

）x×7201600x· ＝240000＋x720×2×40＝297600 1600

，即x＝40时，lx的建立，又是不等式性质在求当x＝最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.

有最小值297600 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.

三、课堂练习

课本P91练习1，2，3，4.

四、课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

五、作业布置

板书设计：

课题：基本不等式

一、重要不等式

二、基本不等式：1.文字语言叙述 2.符号语言叙述

3.几何意义 4.代数解释

三、应用举例 例1 四、演练反馈

五、总结归纳 1.知识要点 2.思想方法

布作置业

课本P10习题1.1第5，6，7题

教学反思

本节的教学中要求学生对基本不等式在数于形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解.“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的.