2.3.2 圆的一般方程名师课堂实录

《圆的一般方程》教案设计

一、学情分析: 圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，是研究二次曲线的开始。这里主要是用解析法研究它的方程及与其它图形的位置和应用。但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，学生在探究问题的能力方面比较薄弱。

因此，根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结构，我特制定如下教学目标。

二、教学目标：

1、知识与技能目标：

（1）将圆的标准方程(x–a)2+(y–b)2=r2，展开得x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0——①令D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2，则①式可写成x2+y2+Dx+Ey+F=0，从而得到圆的一般方程及其方程特点，同时也让学生掌握了这一知识点。

（2）通过设问：是不是任何一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆？

D2E2D+E–4F将方程配方得(x+2)+(y+2)=，对比圆的标准方程：(x4–a)2+(y–b)2=r2，让学生学会能将圆的一般方程化为圆的标准方程，D2+E2–4FDE从而求出其圆心(–2，–2)，r=。

2（3）通过例2，培养学生能用待定系数法来求圆的方程。

（4）通过例3，提高学生用坐标法求动点轨迹方程的通知。

2、过程与方法目标：

通过展开圆的标准方程(x–a)2+(y–b)2=r2导出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0这一过程加深了学生在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养了学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例1、例3补充题的练习，培养学生数形结合思想、方程思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，同时学生用代数方法研

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究几何问题的能力也得到了一定的提高。

3、情感、态度与价值目标：

由学生动手，展开圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2得x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0中令D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0——①，由学生分组讨论得出方程①表示圆的条件，圆的一般方程形式以及圆的一般方程与标准方程的转化和关系，培养了学生勇于思考问题，主动探究知识和合作交流的价值，同时在探讨中也激发了学生的学习兴趣，因此这一过程体现了情感、态度和价值目标。

三、教法学法分析：

教法分析：为了充分调动学生的学习积极性，本节课采用“诱思探究”教学，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，利用多媒体辅助教学。让学生得出圆的一般方程及特点，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0什么时候表示圆，加深对圆的一般方程有关知识的理解。

学法分析：在教学活动中，不断地设置问题、提出疑问，诱导学生主动思考、主动探究、讨论交流，使学生在积极的学习中解决问题，提高学生的数学思维能力及数学素养，实现素质教育的目标。

四、教学重点、难点：

重点：①圆的一般方程及一般方程的特点。②待定系数法求圆的方程。③坐标法求动点的轨迹方程。通过例1、例2、例3的讲解突出了本节重点。

难点：圆的一般方程的应用，待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。采用提问、设疑、五次提问层层深入，这样突破了本节难点。

五、教学媒体分析：

采用黑板与纪灯片相结合，既方便又好用，利用黑板便于插缺补漏，利用纪灯片的演示，加强学生学习的兴趣，同时也提高了课堂效率，增大了课堂容量。

六、教学过程设计：

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教学环节

复习圆的定义及圆的标准方程特征

创设问题

引导

设疑

类比

总结

教师活动

学生活动

设计意图

复习巩固加强记忆。

利用好课堂时间

提问：

生：(x–a)2+(y–1、以A(a，b)为圆心，半径为rb)=r2

的圆的标准方程是什么？

讨论并归纳回答。

2、圆的标准方程有何特征。

幻灯片展示

提问：直线方程有多种形式，圆的方程是否还可以表示成其他形式呢？

教师指导：

教师指出：若设D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2则x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0可写成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0①

即：任何一个圆的方程都可写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式。

激发学生的学习兴趣。

引入新课

展开圆的标准方

程(x–a)2+(y–设置问题：提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，合作交流使学生在积极的学习中解决问题，提高学生的教学思维能力，实现素质教育的目标，同时也培养了学生的情感、态度与价值观。

b)2=r2得x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0。

D将①式配方(x+2)2教师提问：是不是任何一个形如＋(y+E)2＝2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程表D2+E2–4F②

示的曲线都是圆？

4方程②在什么条件下表示圆。

（提示：与圆的标准方程进行比

较。）

分组讨论

归纳：

（1）当D2+E2–4F＞0时，DE方程②表示以(–2，–2)为圆1心，2D2+E2–4F为半径的圆。

（2）当D2+E2–4F=0时，DE方程②表示一个点(–2，–2)。

（3）当D2+E2–4F＜0时，方程②不表示任何图形。

用幻灯片展示。

提问：圆的标准方程与一般方程学生讨论，对比标

有何特点？

准方程，归纳出其

特点。

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教师总结：

圆的标准方程的优点在于明确指出了圆的圆心及半径。

一般方程主要有以下两点：

①x2和y2的系数相同且不相等。

②没有xy这一项，因此是要求出了D、E、F就求出了圆的一般方程。

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提问：圆的一般方程与二元二次生：讨论回答。

方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0有何关系？

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例题讲解：

例1、

（1）A= C≠0是方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的（

）条件。

A、充分而不必要

B、必要不充分

C、充要

D、既不充分也不必要

（2）方程x2+y2+4mx–2y+5m=0表示圆的充要条件是（

）

1A、4＜m＜1

1B、m＜4或m＞1 1C、m＜4

D、m＞1 例2、求过一点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。

教师分析：用两种方法解答。

4 提高学生分析问题和解决问题的能力。

采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识。

学生练习

强调重点，突破难点。

比较用两种方法加强待定系数

求圆的方程的优法的应用

②圆的标准形式。

点。

例3、已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离培养学生数形1结合思想，进的比例为2的点的轨迹，求此曲一步加强学生线的方程，并画出曲线。

用代数方法研解：设曲线上任一点的坐标究几何问题的为M（x,y），依题意得：

能力，体现了本节的知识与技能目标。

x2+y21即=222。

(x–3)+y化简得：x2+y2+2x–3=0。①

将①式配方得(x+1)2+y2=4。

∴方程①表示以C(–1，0)为圆心，2为半径的圆。

y M ①圆的一般形式。

C(–1,0) O A(3,0) x

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课堂练习：P87：1、2 作业：P90：5、6、7、8 用幻灯片展示

生：练习

巩固基础知识。

设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心。

补充题：

1、已知点P（5，3），点M在圆x2+y2–4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值。

2、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

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