1.1.7 柱、锥、台和球的体积ppt课件课堂实录

§1.3.2 球体积的公式探究和应用

一. 教学目标

1.知识与技能

⑴通过对球的体积的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分

割--求和--化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2.过程与方法

4通过球的体积的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3，即“分3割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

3情感与价值观

通过学习，使对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二.

教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积中空间想象能力的形成。

三.

学法和教学用具

1.学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

2.教学用具：投影仪

四.

教学设计

（一）

创设情景

⑴利用圆的面积公式的推导过程来类比学习球的体积过程。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（3）利用排水法来求体积，思考其他的方法。

（二）

探究新知

1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：

第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小R圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底n面。

如图：

RR3i122[1()]　　(i1、２n)

得Virinnn第二步：求和

1(11n)(2n)Ｖ半球＝v1v2v3vnR[1]

6第三步：化为准确的和

3

当n→∞时，

n→0 （同学们讨论得出）

3所以 Ｖ半球＝R(11122)R3

63得到定理：半径是Ｒ的球的体积

Ｖ球4R3

3例1.一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？

例2.在半径为5cm的球内有一个截面,球心到该截面的距离为3cm,则该截面的面积为

2球与长方体和正方体的关系

问:圆有内接长方形，那么球有内接长方体吗？

1.如果一个长方体的八个顶点落在同一个球面上,那么称这个长方体为球的内接长方体,称球为长方体的外接球。

球心在哪里？ 半径怎么求？

2.球心落在长方体的对角线上,为对角线中点

D O A

D1 A1 C1 B1 B C 12cm 4cm

3.长方体的长宽高分别为a,b,c,则其对角线: 对角线abc222

4.如果一个球与正方体的每一个面都相切,则称正方体为球的外切正方体,称球为正方体的

内切球：球的直径=正方体的棱长。

五课堂练习

1.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.

六小结

1、记住球的体积公式，极限的思想。

2、掌握球与长方体、正方体的关系，球内的截面问题。

七作业

小组研究推导球的表面积公式。