二 一般形式的柯西不等式优秀公开课教案

一般形式的柯西不等式

【教学目标】

认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，

并会证明二维柯西不等式及向量形式。 【教学重点】

会证明二维柯西不等式及三角不等式。

【教学难点】

理解几何意义。

【教学过程】

一、复习准备：

1．提问：

二元均值不等式有哪几种形式？

abab(a0,b0)及几种变式。

2答案：

2．练习：已知A．B．C．d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2

证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=…=(adbc)20

二、讲授新课：

1．

柯西不等式：

①

提出定理1：若A．B．C．d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2。

→

即二维形式的柯西不等式 →

什么时候取等号？

②

讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

(acbd)2(adbc)2(acbd)2。 （要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|a2b2，|n|c2d2。

∵

mnacbd，且mn|m||n|cosm,n，则|mn||m||n|。 证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

f(x)(axc)2(bxd)2≥0恒成立。

∴

[2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即…。。

③

讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

c2d2|acbd|

或

a2b2c2d2|ac||bd|

变式：a2b2 或a2b2c2d2acbd。

④

提出定理2：设,是两个向量，则||||||。

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出

）

讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）

⑤

练习：已知A．B．C．d为实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2。

证法：（分析法）平方

→

应用柯西不等式

→

讨论：其几何意义？（构造三角形）

2．教学三角不等式：

出示定理3：设x1,y1,x2,y2R，则x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2。

分析其几何意义

→

如何利用柯西不等式证明

→

变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 三、应用举例：

例1：已知a，b为实数，求证(a4b4)(a2b2)(a3b3)2

说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数y5x1102x的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（|acbd|a2b2c2d2）

解：函数的定义域为(1，5)，且y>0 y5x125x 52(2)2(x1)2(5x)2

27463当且仅当2x155x时，等号成立，即x

课堂练习：1．证明： (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2

2．求函数y3x546x的最大值。

127时，函数取最大值63

27

例3．设a，b是正实数，a+b=1，求证4

1a1a1b分析：注意到四、巩固练习：

11111(ab)()，有了(ab)()就可以用柯西不等式了。

babab1．

练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2．

已知x+2y=1，

求x2+y2的最小值。 五、课堂小结：

二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）