三 反证法与放缩法教学实录及点评

反证法与放缩法

1．反证法

(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．

(2)反证法证明不等式的一般步骤：

①假设命题不成立；

②依据假设推理论证；

③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．

2．放缩法

(1)放缩法证明的定义：

证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．

(2)放缩法的理论依据有：

①不等式的传递性；

②等量加不等量为不等量；

③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

[例1]

已知f(x)＝x2＋px＋q. 求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

1(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2[思路点拨]

“至少有一个”的反面是“一个也没有”．

[证明]

(1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. 1(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，

2则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2. 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，

利用反证法证明问题

1∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2

(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．

(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．

1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(

) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：选D

“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．

2．设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1. 证明：假设4a(1－b)>1,4b(1－c)>1,4c(1－d)>1，

4d(1－a)>1，

11则有a(1－b)>，b(1－c)>，

4411c(1－d)>，d(1－a)>. 4411∴a1－b>，b1－c>，

2211c1－d>，d1－a>. 22又∵a1－b≤a＋1－bb＋1－c，b1－c≤，

22c＋1－dd＋1－ac1－d≤，d1－a≤，

22∴a＋1－b1b＋1－c1>，>，

2222c＋1－d1d＋1－a1>，>. 2222将上面各式相加得2>2，矛盾．

∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1. 3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)

证明：假设ab. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．

当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，

于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．

故a

利用放缩法证明不等式

[例2]

已知实数x，y，z不全为零．求证：

3x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>(x＋y＋z)．

2[思路点拨]

解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．

[证明]

≥

x2＋xy＋y2＝

x＋y2＋3y2

24x＋y2＝x＋y≥x＋y. 222zy2＋yz＋z2≥y＋，

2同理可得

xz2＋zx＋x2≥z＋，

2由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：

yzx3x＋＋y＋＋z＋＝(x＋y＋z)．

x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>2222

(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．

(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．

4．已知a，b是正实数，且a＋b＝1，求证：1＋b1＋a11证明：因为＋<＋

a＋1b＋1a＋1＋bb＋1＋a＝a＋b＋23＝，

a＋b＋12113＋<.

a＋1b＋12所以原不等式得证．

1n＋2. 5．已知n∈N＋，求证：1×3＋3×5＋…＋2n－12n＋1<21＋343＋58证明：因为1×3<＝，3×5<＝，…，

22222n－12n＋1<2n－1＋2n＋14n＝，

224＋8＋…＋4n＝n2＋n，

2所以1×3＋3×5＋…＋2n－12n＋1<1n＋2，

又因为n2＋n<2所以原不等式得证．