2.基本不等式名师教学设计1

1．求不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集．

x≤－3，解：原不等式等价于

－x－3＋x－2≥3－3

2．在实数范围内，解不等式||x－2|－1|≤1. 解：依题意得－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，解得0≤x≤4.

故x的取值范围是[0，4]．

3．(2015·山西省忻州市联考)已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．

(1)求m＋n的值；

(2)若|x－a|

∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.

(2)证明：若|x－a|<1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<|a|＋1.

1x＋

＋|x－a|(a>0)．

4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝a(1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)<5，求a的取值范围．

111x＋＋|x－a|≥x＋－（x－a）＝＋a≥2.所以f(x)≥2.

解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝aaa13＋＋|3－a|.

(2)f(3)＝a5＋211当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3

a21＋51当0

a2综上，a的取值范围是1＋55＋21.

2，235．(2015·大连市模拟)设不等式|x－2|＋|3－x|

(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．

a>1解：(1)由题可得，

a≤2所以1

所以a＝2.

(2)因为|x＋2|＋|x－2|≥|(x＋2)－(x－2)|＝4，

所以f(x)的最小值是4.

6．(2015·新乡许昌平顶山调研)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.若a>1，∀x∈R，f(x)＋|x－1|≥1，求实数a的取值范围．

解：令F(x)＝f(x)＋|x－1|，

－3x＋2＋a，x<1则F(x)＝x－2＋a，1≤x

3x－2－a，x≥a所以当x＝1时，F(x)有最小值F(1)＝a－1，

只需a－1≥1，解得a≥2，

所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．

1．(2015·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；

t(2)在(1)的条件下，若存在实数t，使f2≤m－f(－t)成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.

t(2)∵f2≤m－f(－t)，∴|t－1|＋|2t＋1|＋2≤m，

1令y＝|t－1|＋|2t＋1|＋2，则y＝t＋4，－

221－3t＋2，t≤－，2

2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)

a1(2)设a>－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

22解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)

1则y＝

－x－2，≤x≤1，23x－6，x>1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x|0

a1(2)当x∈[－，)时，f(x)＝1＋a，

22不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，

1－5x，x<，2

a1a所以x≥a－2对x∈[－，)都成立，故－≥a－2，

2224即a≤.

34从而a的取值范围是(－1，]．

33．(2015·云南省统考)已知a、b都是实数，a≠0，f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)若f(x)>2，求实数x的取值范围；

(2)若|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．

3－2x，x≤1解：(1)f(x)＝1，1

2x－3，x>2x≤1x>2由f(x)>2得或，

2x－3>23－2x>215解得x<或x>.

2215∴所求实数x的取值范围为(－∞，)∪(，＋∞)．

22(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得

|a＋b|＋|a－b|≥f(x)．

|a||a＋b|＋|a－b||a＋b＋a－b|又∵≥＝2，

|a||a|∴f(x)≤2.

15∵f(x)>2的解集为{x|x<或x>}，

2215∴f(x)≤2的解集为{x|≤x≤}，

2215∴所求实数x的取值范围为[，]．

224．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a<3)的最小值为2. (1)解关于x的方程f(x)＝a；

(2)若存在x∈R，使f(x)－mx≤1成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|x－4－(x－a)|＝|a－4|(当(x－4)(x－a)≤0时取等号)，知|a－4|＝2，解得a＝6(舍去)或a＝2.

方程f(x)＝a即|x－4|＋|x－2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x≤4.

(2)不等式f(x)－mx≤1即f(x)≤mx＋1，由题意知y＝f(x)的图象至少有一部分不在直线y

1＝mx＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m∈(－∞，－2)∪[，＋∞)．

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