2.基本不等式教学设计实例

1．1.2

基本不等式

知识提炼·梳理] 1．定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．

2．定理2 a＋b如果a，b是正数，那么≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．

2温馨提示

(1)基本不等式中注意a，b的限制条件；

(2)“＝”成立的条件．

3．重要结论

已知x，y都是正数，则：

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值______；

(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值______．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

1(1)x＋的最小值是2.(

) x(2)x2＋2的最小值是2.(

) x2＋14(3)2－3x－的最小值是2.(

) x1解析：(1)当x＜0时，x＋＜0，故(1)错误；

x(2)当x＝0时，x2＋2的最小值是2，(2)正确；

x2＋14(3)x＝2时，2－3x－＝－6，故(3)错误．

x答案：(1)×

(2)√

(3)×

a＋b2．“a＞0且b＞0”是“≥ab”的(

) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：由基本不等式知，a＞0且b＞0时，

a＋b可得≥ab，

2a＋b但≥ab

2a＞0且b＞0，如a＝1，b＝0.

a＋b所以“a＞0且b＞0”是“≥ab”的充分不必要条件．

23．设a，b是不相等的实数，且a＋b＝2，则下列不等式成立的是(

) a2＋b2A．ab≤1≤

2a2＋b2C．1＜ab＜

2解析：根据不等式

答案：D 4. 下列不等式的推导过程正确的是________(填序号)．

ba①若a，b∈R，则＋≥2abba·＝2；

abcos x·1＝2；

cos xa2＋b2B．ab≤

2

a2＋b2D．ab＜1＜

2a2＋b2a＋b≥≥ab和条件“a，b是不相等的实数”可选D. 221②若x＞0，则cos x＋≥2 cos x4③若x＜0，则x＋≤2 x4x·＝4；

xba－b＋

④若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－aab

误；

－a≤－2 b－b·－a＝－2. abba4解析：在①②中，不能确定，，cos x均为正数，故在③中，x与均为负数，不能直接使用基本不等式，故③错abx不能使用基本不等式，故①②错误；

baba在④中，将负数与转化为正数－，－，然后再利用基本不等式，故④正确．

abab答案：④

5．若x，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值是_______．

11解析：因为x，y＞0，2x·4y≤x＋4y＝1，当且仅当x＝4y，即x＝，y＝时等号成立．

2811所以4xy≤，即xy≤. 2161答案：

16类型1

利用基本不等式证明不等式(自主研析) [典例1]

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc. 证明：因为b2＋c2≥2bc，a＞0，

所以a(b2＋c2)≥2abc，①

同理，b(c2＋a2)≥2abc，②

c(a2＋b2)≥2abc.③

因为a，b，c不全相等，

所以①②③式中至少有一个式子不能取等号．

所以a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc. 归纳升华

1．证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择不等式及其变形不等式来证．重要不等式和基本不等式的结构特征是：左右两边的多项式次数相同，一边是和一边是积，字母的位置可以交换．当待证的不等式具备以上条件时才可使用这两类不等式证明．

2．重要不等式和基本不等式有着多种变形形式，在证明不等式时有着非常重要的作用．如：若a，b∈R，则a2＋b2ab≤. 2[变式训练]

已知x，y>0且x＋y＝1.求证：

1＋11＋1≥9. xy2211（x＋1）（y＋1）（2x＋y）（2y＋x）5xy＋2（x＋y）1＋1＋＝证明：＝＝

xyxyxyxy2（x2＋y2）2×2xy＝5＋≥5＋＝9.

xyxy1当且仅当x＝y＝时取等号．

2111＋1＋≥9. 所以xy类型2

利用基本不等式求最值(互动探究) 16[典例2]

(1)若x＞0，求f(x)＝4x＋的最小值是____________；

x12(2)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，则＋的最小值是____________；

xy(3)设x，y是正实数，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的最大值是____________．

解析：(1)因为x＞0，

16所以f(x)＝4x＋≥2x164x·＝264＝16.

x16当且仅当4x＝，即x＝2时，“＝”成立．

x所以f(x)的最小值是16.

1212124xy＋·1＝＋(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2 (2)＋＝xyxyxyyx4xy当且仅当＝时，等号成立．

yx11又因为2x＋y＝1，所以x＝，y＝，

421112所以当x＝，y＝时，＋取最小值8.

42xyx＋yx＋y(3)因为x＞0，y＞0，所以≥xy，所以xy≤22.

24xy·＝8，

yx

lg x＋lg y＝lg xy≤lg6x＋y＝lg2＝2lg 3，

222当且仅当x＝y时，等号成立．

又x＋y＝6，所以x＝3，y＝3.

所以当x＝3，y＝3时，lg x＋lg y取最大值2lg 3. 答案：(1)16

(2)8

(3)2lg 3 [迁移探究]

(变换条件，改变问法) 16(1)若x＜0，求f(x)＝4x＋的最大值是________．

x11(2)已知lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为________．

xy解析：(1)因为x＜0，所以－x＞0，

1616f(x)＝4x＋＝－－4x＋－x≤－2 x当且仅当－4x＝16（－4x）·＝－2×64＝－16.

－x16，即x＝－2时，“＝”成立．

－x所以f(x)的最大值为－16.

(2)因为lg x＋lg y＝2，所以lg(xy)＝2，所以xy＝102.

11x＋y2xy21001所以＋＝≥＝＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．

xyxyxy1005归纳升华

1．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：各项均为正数，其和或积为定值，等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败．

cd2．对于类似题型：已知a，b，c，d，x，y大于0，若求ax＋by＝1，＋的最小值，可以采用“乘常数，凑倒数”xy的变形技巧，然后利用均值不等式求其最值．

类型3

利用不等式解应用题(规范解答) [典例3]

(本小题满分10分)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．

审题指导：设容器底面的长和宽分别为x，y，造价为W，建立函数关系式．然后利用基本不等式求出最值即可．

规范解答]

设容器底面的长为x，宽为y，总造价为W，(1分)

4依题意知xy＝4，即y＝.(3分)

x

所以总造价W＝20xy＋2(x＋y)·1×10＝80＋失分警示：若漏掉此定义域则扣1分.

4x＋＋80≥20×2

所以W＝20x480x＋＋80，x∈(0，＋∞)．

＋20x＝20xx4x·＋80＝160，

x4当且仅当x＝，即x＝2时，“＝”成立．(9分)

x所以最低总造价是160元．(10分) 归纳升华

应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，要审清题意，尤其是带有说明的地方，再列出不等式或函数式，最后利用不等式的知识求解．同时要注意未知数的取值范围，如：时间应为正数，人或某些物品数应是正整数等，以免得出与

课堂小结：

a＋b1．在公式a2＋b2≥2ab及≥ab的应用中，应注意三点：

2a＋b(1)a2＋b2≥2ab和≥ab成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数．

2(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立”的含义要搞清楚．它的含义是：

①当a＝b时，a2＋b2＝2ab；

②当a2＋b2＝2ab时，a＝b；

③当a≠b时，a2＋b2＞2ab；

④当a2＋b2＞2ab时，a≠b. a＋b(3)对基本不等式：a，b为正数，则≥ab，当且仅当a＝b时等号成立，作类似理解．

2111但由于定义域的限制，不能使等号成立，如y＝x＋(x≥5)的最小值，尽管x＋≥2，当x＝时，但x＝1时取“＝”xxx号，而x＝1不在其定义域[5，＋∞)内，因此不能使用基本不等式．

3．连续使用基本不等式，要注意保证取等号条件的一致性．