三 排序不等式国家优质课一等奖

三

排序不等式

1．了解排序不等式的数学思想和背景．

2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念

阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．

设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋anbn为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1称为反序和．

教材整理2 排序不等式

阅读教材P42～P44，完成下列问题．

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b2＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．

[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型] 用排序不等式证明不等式(字母大小已定)

已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：

(1)1bccaab≥1≥1；

a2b2c2111(2)22＋22＋22≥2＋2＋2. bccaababc【精彩点拨】

由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．

11【自主解答】

(1)∵a≥b>0，于是≤. ab111又c>0，∴>0，从而≥，

cbcca11同理，∵b≥c>0，于是≤，

bc1≥∴a>0，∴>0，于是得11acaab，

从而1bccaab1≥≥1≥1. 1≥1>0且a≥b≥c>0，

22(2)由(1)知∴1≥1bccaab≥12bc22ca22ab22，a≥b≥c. 由排序不等式，顺序和≥乱序和得

a2b2c2b2c2a2111111＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，

b2c2c2a2a2b2b2c2c2a2a2b2c2a2b2a2b2c2a2b2c2111故22＋22＋22≥2＋2＋2. bccaababc

利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．

[再练一题] a5b5c5c2a2b21．本例题中条件不变，求证：33＋33＋33≥3＋3＋3. bccaababc【证明】

∵a≥b≥c≥0，

∴a≥b≥c，

1555cba∴∴11≥11≥≥＞0. 1≥11，

1，由顺序和≥乱序和得

bcacbabc33≥ac33≥b3a3a5b5c5b5c5a5＋＋≥＋＋

b3c3a3c3b3a3b3c3a3c3b3a3b2c2a2＝3＋3＋3，

caba5b5c5c2a2b2∴33＋33＋33≥3＋3＋3. bcacbaabc字母大小顺序不定的不等式证明

a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3

设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋. 2c2a2bbccaab【精彩点拨】

(1)题目涉及到与排序有关的不等式；

(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．

【自主解答】

不妨设0

0<1bccaab≤1≤1，

由排序原理：乱序和≤顺序和，得

a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·，

caabbcbccaaba3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·. abbccabccaab将上面两式相加得

333a2＋b2b2＋c2c2＋a2abc＋＋≤2＋＋，

cabbccaab111111111111将不等式两边除以2，

a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3得＋＋≤＋＋. 2c2a2bbccaab

在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．

[再练一题] 2．设a1，a2，…，an为正数，求证： a2a2a2a212n－1n＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3ana1【证明】

不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则

22a2≥≥…≥. 1≤a2≤…≤an，a1a2an111由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以

a2a2a2a211112n－1n＋＋…＋＋≥a2＋a2＋…＋a21·2·n·，即

a2a3ana1a1a2ana2a2a2a212n－1n＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3ana1利用排序不等式求最值

设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求

aA＋bB＋cC的最小值(A，B，C用弧度制表示)．

a＋b＋c【精彩点拨】

不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．

【自主解答】

不妨设a≥b≥c，

则A≥B≥C. 由排序不等式，得

aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，

aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，

aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，

将以上三式相加，得

3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，

当且仅当A＝B＝C＝π时，等号成立．

3aA＋bB＋cCπ∴≥，

a＋b＋c3aA＋bB＋cCπ即的最小值为. a＋b＋c3

1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．

2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．

[再练一题] x2y2z23．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．

yzx111【解】

不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，≥≥. zyx由排序不等式，乱序和≥反序和．

x2y2z2＋＋

yzx

111222≥x·＋y·＋z·

xyz＝x＋y＋z. x2y2z2又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，

yzx1当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．

3x2y2z2故t＝＋＋的最小值为1. yzx利用排序不等式求解简单的实际问题

若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？

【精彩点拨】

这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可．

【自主解答】

设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，

由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，

所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．

1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．

2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．

[再练一题] 4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

【解】

根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋

6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．

即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min依次等水，等待的总时间最少．

[构建·体系] —反序和、乱序和、顺序和排序不等式——排序原理—排序原理的应用

1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是(

) A．M>N

C．M

B．M≥N

D.M≤N

【解析】

由排序不等式，知M≥N. 【答案】

B 2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是(

) A．P>Q C．P

B．P≥Q

D.P≤Q

【解析】

不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0，

由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a. ∴P≥Q. 【答案】

B 3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________. 【解析】

由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，

∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28. 【答案】

32 28 4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在

选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．

【解析】

取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19. 所以最少花费为19元，最多花费为25元．

【答案】

19 25 1115．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，求证：1＋＋＋…＋≤a123n＋2＋2＋…＋2. 23n【证明】

∵12＜22＜32＜…＜n2，

111∴2＞2＞…＞2. 12n设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an由小到大的一个排列，即c1＜c2＜c3＜…＜cn，

根据排序原理中，反序和≤乱序和，

a2a3ancna2a3an得c1＋2＋2＋…＋2≤a1＋2＋2＋…＋2，

23n23n而c1，c2，…，cn分别大于或等于1,2，…，n，

c2c3c2c3cn23n∴c1＋2＋2＋…＋2≥1＋2＋2＋…＋2

23n23n11＝1＋＋…＋，

2n111a2an∴1＋＋＋…＋≤a1＋2＋…＋2. 23n2n

我还有这些不足：

(1) (2) 我的课下提升方案：

(1)

(2)

学业分层测评（十一）

(建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题

1．设a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是(

) A．P>Q

B．P≥Q

C．P

D．P≤Q

【解析】

∵a≥b>0，∴a2≥b2>0. 因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，

则P≥Q. 【答案】

B 2．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为(

) A．反序和≥乱序和≥顺序和

B．反序和＝乱序和＝顺序和

C．反序和≤乱序和≤顺序和

D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定

【答案】

C 3．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则的最小值为(

) A．3 C．9 B．6 D.12 a1a′1a′2a′3＋a2＋a3111【解析】

设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，由乱序和不小于反序和知，

a3a2a1a1a′1a′2a′3∴＋a2＋a3≥＋＋＝3，

的最小值为3，故选A. a1a2a3a1a2a3a1a′1a′2a′3＋a2＋a3

【答案】

A 224．若A＝x21＋x2＋…＋xn，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为(

) A．A＞B C．A≥B

B．A＜B

D.A≤B

【解析】

依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋22xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x21＋x2＋…＋xn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选C. 【答案】

C 5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(

) A．大于零 C．小于零

B．大于等于零

D.小于等于零

【解析】

设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，

根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，

∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，

即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.

【答案】

B 二、填空题

6．若a，b，c∈R＋，则bccaab＋＋________a＋b＋c. abcabc111【解析】

不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，≤≤，

∴bccaabacabbc＋＋≥＋＋＝a＋b＋c. abccab【答案】

≥

7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s. 【解析】

等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．

【答案】

41 8．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则________. 111【解析】

不妨设a3>a1>a2>0，则<<，

a1a2a2a3a3a1＋＋的最小值为a3a1a2a3a1a2所以a1a2

a3a1a2a1a2a2a3a3a1＋＋. a3a1a2a1a2a2a3a3a1＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，

a3a1a2由排序不等式得所以a1a2a2a3a3a1＋＋的最小值为1. a3a1a2【答案】

1 三、解答题

9．设a，b，c大于0，求证：

(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；

(2)1111＋＋≤. a3＋b3＋abcb3＋c3＋abcc3＋a3＋abcabc【证明】

(1)不妨设a≥b≥c>0，

则a2≥b2≥c2>0，

∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，

∴a3＋b3≥ab(a＋b)．

(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，

所以≤＋111＋3＋3

33a＋b＋abcb＋c＋abcc＋a3＋abc311aba＋b＋abcbcb＋c＋abcaca＋c＋abc

＋1

＝＝111＋＋

a＋b＋cabbcca11c＋a＋b1＝. a＋b＋cabcabc·故原不等式得证．

10．已知a，b，c都是正数，求ab＋cc＋aa＋b＋b＋c的最小值．

【解】

由对称性，不妨设0＜c≤b≤a，则有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜111≤≤. a＋ba＋cb＋c由排序不等式得

ab＋ca＋ca＋b≥＋b＋c

，①

aa＋ca＋bb＋c＋＋b＋cabb＋ca＋ca＋ba＋ca＋bb＋cbca＋＋≥3，

由①②知2b＋ca＋ca＋b∴＋c≥c＋a＋b.②

ab＋ca＋c＋b＋3≥. a＋b2c当且仅当a＝b＝c时，ab＋cc＋a＋b＋3取最小值. a＋b2c[能力提升] 1．锐角三角形中，设P＝的关系为(

) A．P≥Q C．P≤Q

B．P＝Q

D.不能确定

a＋b＋c2，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q【解析】

不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，

cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A ＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)

≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)] ＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝【答案】

C 1112．已知a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，则＋＋的最小值是b＋cc＋aa＋b________．

【解析】

不妨设a≥b≥c，∴∴111≥≥，

b＋cc＋aa＋ba＋b＋c2＝P. ab＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b＋＋b＋c≥b＋c＋a，①

abb＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b①＋②得∴＋c≥c＋a＋b，②

ab＋cc＋a＋b＋3≥，

a＋b2c1119＋＋≥. b＋cc＋aa＋b29

2【答案】

π3．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与4(a＋b)的大小关系为________. 【解析】

不妨设a≥b＞0，

则A≥B＞0，由排序不等式

＝aA＋bB≥aB＋bAaA＋bB＝aA＋bB

⇒2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B) π(a＋b)，

2π(a＋b)．

4π(a＋b) 4∴aA＋bB≥【答案】

aA＋bB≥

4．已知0<α<β<γ<π，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos 21α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

2【证明】

∵0<α<β<γ<π0，上为减函数，

在2∴0cos β>cos γ>0. 根据排序不等式得：乱序和>反序和．

∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α

>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ

1＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

2故原不等式得证．

ππ，且y＝sin x在0，上为增函数，y＝cos x22