小结教学目标

二项式定理第一课时教学设计

一、教材分析：

1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。

教学目标：

1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

2、能力目标：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。

3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

一、教学重点，难点，关键：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。

（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。

（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

难点：

（1）二项展开式的规律的理解和掌握。

（2）“二项式系数”和“系数”的区别。

三、教学手段

制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。

四、教学过程设计

【复习引入：】

复习回顾：

[提问]初中学过的完全平方公式是什么？

你能写出（a+b）3，（a+b）4的展开式吗？

设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，

让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法。

思路一：提问：（1）以（a+b）2＝a2+2ab+b2为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的系数又是什么？有几项？

（2）展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系？

（3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4……（a+b）n展开式的形式吗？观察下面等式：

（a+b）＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b4

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

【设计意图：】由特殊的二项式来分析猜想一般的二项式展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神和创新精神。

（1）展开式中各项是幂的形式，可按a（或b）的降幂排成：

（2）展开式中各项系数的规律：将上式中展开式的系数列成表如下：

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …………

发现：

发现每行两端都是1，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：于是各项系数可写成表中形式：由此猜想

展开式的各项系数：

【设计意图：】学生对各项是什么形式不难猜到，但对二项式系数不易想到，通过“杨辉三角”中的数字规律，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想各项系数为，让学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐，对称美。在此，适时对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情，思路二：观察下式：

（a+b）4＝（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）

由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含a4的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4，系数为：C40含a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C41a3b，系数为：C41；含a2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C42a2b2，

系数C42为；含的ab3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即C43a3b，系数为C43，含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C44b4，系数为C44；从而可得：

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

提问：的展开式怎么写呢？引导学生回答：可以对b分类：：不取b，得取1个b，取得2个b，得…………取k个b，得…………取n－1个b，得取n个b，得将这n+1个式子相加，可得二项式定理

（a+b）n＝Cn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+……+ Cnkan-kbk+……+ Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）

【设计意图：】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。

完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有in+1项，其中各项系数Cn（i=1,2,3……,n）叫做二项式系数，其通项公式为：Tk+1=C-nkn-kkab（k=1,2,3……n）。说明：

（1）猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。

（2）二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中式中a与b是用“+”连接的。

（3）展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。

（4）通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。

（5）二项式系数为Cnk，注意与项的系数的区别。

例如：（1－x）3的第二项是－C31x，其二项式系数为：

C31，第二项的系数为：－C31。

例：课本例题

（学生练习：）展开（a+b）5,（a+b）6

（2）求展开式的第3项（3），求展开式的第3项

五、课后反思

本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：

1，本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出定理。培养学生猜想，归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2，在例题，作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。

3，以学生为主体，让学生自己去探索，发现，再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解，主动探索的认识过程必须伴随着学生心理意志，情感，品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质，生命成长。