一 比较法教学实录及点评

选修4-5不等式证明

第二章第一节——比较法（教学设计）

一、教学目标：

1、知识与技能：

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；

（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

2、过程与方法：

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

3、情感、态度与价值观：

（1）激发学习的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

二、教学重点：

比较法的意义和基本步骤，作差、作商比较法证明不等式 三、教学难点：

常见的变形技巧，根据题目特征选择合适的方法证明不等式

四、学情分析：

本节知识是在学生已经学习了不等式的概念和基本不等式以及不等式

的相关基本性质的基础上来学习的，学生已有一定基础，只是部分学生对前几节的基础铺垫知识理解掌握得不是很透彻，可能还存在一定理解和对新知识的接受的问题。

五、教学方法：

启发引导式、合作探究

六、教学过程

：

1、基础知识简单回顾：比较两个实数的大小，有哪些方法？

比较法是证明不等式的最基本、最重要的一种方法，比较法一般分为作差比较法和作商比较法。

2、知识提炼：

（1）作差比较法的依据：（实数的运算性质）

abab0

abab0

abab0

3322例1：已知a,b是正数，且ab，求证：ababab

证明：(ab)(abab)(aab)(bab)a(ab)b(ab)

a(ab)b(ab)(ab)(ab)(ab)(ab). 因为a,b都是正数，所以ab0，又因为ab，所以(ab)0. 于是(ab)(ab)0，(ab)(abab)0.所以a3b3a2bab2. 作差法原理：

，故可考虑作差

，通过其正负来证明原式. 例2.如果用akg白糖制出bkg溶液，则糖的质量分数是233222222223322323222a，若在上述溶液中再添加bmkg白糖，此时糖的质量分数增加到am，将这个问题抽象为数学问题，并给出证明. bm由学生探索如何通过作差与作商来证明这个不等式，并按照学生的思路与方式展示两种解法的基本解答过程，最后在此基础上总结提炼出作差法与作商法的基本步骤与注意事项。

解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题:已知a,b,m都为正数，且ab，则ama，证明如下：

bmbama(am)ba(bm)bmamm(ba). bmbb(bm)b(bm)b(bm)因为ab，所以ba0；又因为a,b,m都是正数，所以m(ba)0,b(bm)0，

所以m(ba)amaaam

0，即0，所以bmbbbmb(bm)【思路点拨】显然a,b,m都是正数，且ab.生活经验告诉我们，在已有的糖溶液中

加糖，糖的质量分数增大. 作差法需注意：作差是依据，变形是手段（重点），判断符号是目的。常见的变形手段是通分、因式分解、配方或有理化等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积上、或完全平方式等. 练习1：已知ab,求证：a3b3ab(ab)

（2）作商比较法的原理及步骤：

已知:a,bR

abab0，abab0，abab0

3322例1：已知a,b是正数，且ab，求证：ababab

证明：（作商比较法）a,bR,且ab

a3b3(ab)(a2abb2)a2abb22ababab1

22abababababab(ab)a3b3a2bab2

abba例3：已知a,b是正数，求证：abab，当且仅当ab时等号成立。

aabbaabbaaabb(ab)证明：baababb当ab0时，则ab

aaa1,ab0,()ab()01

bbbaaa当ba0时，则01,ab0,()ab()01

bbbaab011

当ab时，()babbaabab,当且仅当ab时,等号成立.

步骤：作商——变形——判断商式与1的大小——下结论

作商法需注意：作商是依据，变形是手段（重点），判断与1的大小是目的

3、探究：——如何根据题目选择合适的方法

如：用比较法证明：（1）

时，

（2）

与

的大小

利用两题的题目与解题的对比，探究何种情况适合作差，何种情况适合作商？

小结：遇到多项式类型的更适合作差法；遇到乘积（商）、幂、指数等形式更适合作商法。

4、课堂总结：

①比较法可分为作差比较法和做商比较法.注意二者的区别。

②一般地，证幂、指数不等式时，常用作商法；证对数不等式，多项式，分式时，常用作差法。作差法常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、因式的积或商或完全平方式等。

③当“差”或“商”中含有字母而无法判定时，一般需对字母的取值进行分类讨论。

5、课后作业

习题2.1：2，3，4题